Файл: Методические рекомендации и практический материал к теме "Решение задач с параметрами" в контексте программы по математике для 58 классов 45.doc

= –a, x₂= = –4a.

Т.е. при a>0 и a<0 корни уравнения выражаются через aодинаково.

б) При a=0, D=0: x= = = 0.

Ответ: при a  0 x₁=–4a, x₂=–a;

при a=0 x=0.

Комментарий: Ответ можно выписать, не выделяя случай a=0: при любых a x₁=–4a, x₂= –a; но я предпочитаю выделять случай равенства дискриминанта нулю, т.к. такая запись снимает вопрос о количестве корней в зависимости от a.

49. Решить уравнение ax²+2x+1=0.

Решение:

Первоначально рассмотрим случай, когда первый коэффициент равен нулю.

1) Если a=0, 2x+1=0, x=–0,5 , то уравнение линейное, имеет один корень.

2) Если a 0, то имеем квадратное уравнение. Найдем D₁. D₁=1-a.

а) ЕслиD_1>0, 1– a>0, a 1, a 0, уравнение имеет два корня:

x_1,2 = .

б) ЕслиD₁=0, a=1, то уравнение имеет один корень: x = = –1.

в) ЕслиD_1<0, 1– a<0, a>1, то уравнение не имеет корней.

Ответ: при a<1,a 0 x_1,2 = ;

при a=0 x=–0,5;

при a=1 x=–1;

при a>1 корней нет.

Разбираем еще одно аналогичное уравнение (можно пригласить ученика к доске).

50. аx²x+3=0.

Ответ: при a< ,a 0 x_1,2 = ;

при a=0 x=3;

при a = x=6;

при a>

---

корней нет.

51. (a+1)x² 2x+1 a=0.

Теперь учащиеся готовы к составлению алгоритма.

Алгоритм решения квадратных уравнений с параметрами

Ax²+Bx+C=0

1. Несколько раз прочитать формулировку задачи. Выяснить, зависит ли степень уравнения от параметра. Если требуется, найти ОДЗ параметра.

2. Найти значения параметра, при которых A=0. Решить линейное уравнение.

3. Решить квадратное уравнение.

а) Определить, при каких значениях параметра D>0. Найти корни по формуле x_1,2= .

б) Определить, при каких значениях параметра D=0. Найти корень по формуле x= .

в) Определить, при каких значениях параметра D<0, корней нет.

4. Исключить из п. 3 а), б), в) значения параметра из п. 1, 2.

5. Записать ответ.
Образец ОфорМЛЕНИЯ

51. Решить уравнение a (a+3)x²+(2a+6)x 3a 9=0.

Решение:

1) a(a+3)=0 приa=0, a=–3.

а) Еслиa=0, получим 6x-9=0,

6x=9,

x=1,5.

б) Еслиa=–3, получим 0x+9-9=0,

0x=0,

x-любое число.

2) a(a+3)  0 при a  0, a  –3.

a (a+3)x²+2(a+2)x  3(a+3)=0.

Разделим обе части уравнения на a+3  0, получим

ax²+2x  3=0, D₁=1+3a.

а) D_1>0, если 1+3a>0, a> , a  0.

Уравнение имеет два корня:

x_1,2 = .

б) D₁=0, если 1+3a=0, a= .

Уравнение имеет один корень:

x = = 3.

в) D_1<0, если 1+3a<0, a< , a 

---

3.

Уравнение не имеет корней.

Ответ: при a< ,a3 корней нет;

при a=–3 x-любое число;

при a> , a  0 x_1,2 = ;

при a= , x=3;

при a=0, x=1,5.

Комментарий: Довольно часто запись ответа вызывает затруднения. Вот один из возможных способов действий, использующий ось параметра a:

1) Нанести на ось параметра a все значения, которые "встретились" при решении;

2) Указать значения (или число) корней в каждом промежутке и отдельных точках.

Задачи для самостоятельного решения

53. Решите уравнение:

а) x² 3ax+2a²=0;

б) x²bx 2b²=0;

в) x²+5bx 6b²=0.

54.Решите уравнение:

а) x² (2a 4)x 8a=0;

б) x²+(3b 2)x 6b=0;

в) x² (3a 2)x+2a²a 3=0;

г) x² 4bx+3b² 4b 4=0.

55. Решите уравнение:

а) ax² (a+1)x+1=0;

б) mx² 6x+1=0.

Выбор задач ограничен тем, что восьмиклассники не умеют решать квадратные неравенства.

Желательно на этом этапе провести проверочную работу, в которую включить задания типа 37, 39, 47, 48.

При наличии времени можно рассмотреть три интересные задачи, решение которых усложнено рассмотрением области допустимых значений параметра и неизвестного.

56. Решить относительно x  = .

Решение:

1) ОДЗ: x 2, x 1,

m 0.

---

2) Умножим обе части уравнения на m(x+1)(x+2)  0, получим квадратное уравнение (преобразования самостоятельно):

x² 2(m 1)x+m² 2m 3=0.

3) Найдем D₁.

D₁=(m 1)² (m² 2m 3)=4.

D₁>0, значит, уравнение имеет два различных корня при любом m. x₁=m 1  2=m 3; x₂=m 1+2=m+1.

4) Найдем значения m, при которых значения x₁, x₂равны 2, 1.

а) x₁=2, еслиm 3=2, m=1; при m=1 x₂=2;

б) x₁=1, еслиm 3=1, m=2; при m=2 x₂=3;

в) x₂=2, еслиm+1=2, m=3; при m=3 x₁=6;

г) x₂=1, еслиm+1=1, m=2; при m=2 x₁=5.

Ответ: при m 0, m3, m2, m 1 x₁=m 3; x₂=m+1;

при m=0 уравнение не имеет смысла;

при m=3 x=6;

при m=2 x=5;

при m=1 x=2;

при m=2 x=3.

57. Для каждого значения параметра a решить уравнение: = 0.

(обратите внимание, что в задачах 55, 56 одно требование, но сформулировано оно по-разному)

Решение:

1) Данное уравнение равносильно системе (1) 2) Решим квадратное уравнение (2),

D₁=(a 1)² (2a+1)=a² 2a+1+2a 1=a².

а) D₁  0 при любых a; x₁=a  1  a=1, x₂=a  1+a=2a  1.

3) Тогда система принимает следующий вид:

4) Исключим те значения a, при которых

---

;

a=4, a=4.

Ответ: при a 4, a  , a  1, a  2,5 x₁=4; x₂=a;

при a=4, a= , a=1, x=4;

при a=2,5 x=2,5.

58. При каких значениях a уравнение =0 имеет единственное решение?

Решение:

1) Данное уравнение равносильно системе ,

2) Уравнение имеет один корень, если

а) D=0, но x 3.

D=0, a² 4=0, a= 2.

Проверка: если a=2, x²+2x+1=0, x=1.

если a=2, x² 2x+1=0, x=1.

б) Если квадратное уравнение имеет два корня, один из которых равен 3.

x₁=3,( 3)²a (3)+1=0, 9+3a+1=0; a= .

Найдем второй корень (самостоятельно): x₂= .

Ответ: a= ; a=2; a=2.

К азбуке квадратного уравнения относится и теорема Виета, позволяющая выяснить для уравнения, имеющего корни, их знаки, сравнить корни по модулю и т.п.

Устные упражнения

59. Решите уравнение.

а) x² 7ax+12a²=0;

б) x²+5bx+6b²=0;

в) 7x² 4ax 3a²=0;

г) 7x²+13bx+6b²=0;

д) x² (3a1)x+2a²a=0;

е) x² (4b2)x+3b² 2b=0.

Далее целесообразно решить серию несложных задач.

60. При каких k произведение корней квадратного уравнения x

---