Файл: Методические рекомендации и практический материал к теме "Решение задач с параметрами" в контексте программы по математике для 58 классов 45.doc

Квадратные уравнения параметрам

Основная цель: научить учащихся исследовать квадратные уравнения; ознакомить их с применениями теоремы Виета и теоремы, обратной ей.

Задачи, связанные с квадратными уравнениями, встречающиеся в школьной практике, чрезвычайно разнообразны.

Теория решения квадратного уравнения должна быть изложена достаточно полно по требованию программы. Однако для того, чтобы облегчить учащимся решение многих задач, необходимо дополнить теоретический материал. (Все изложенные ниже дополнительные сведения сообщаются учащимся в процессе изучения соответствующей темы, снабжаются множеством простых примеров. Доказывать все свойства не обязательно.)

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

Уравнение вида Ax²+Bx+C=0, где x-неизвестное, A, B, C-действительные числа или выражения, зависящие только от параметров, причем A  0, называется квадратным уравнением относительно x.

Допустимыми считаются такие значения параметров, при которых A, B и C имеют смысл.

D=B²-4ac -дискриминант квадратного уравнения.

Если D<0, то уравнение корней не имеет.

Если D=0, то уравнение имеет один корень кратности два: x=– .

(Замечание: Часто про квадратные уравнения с дискриминантом, равным нулю, и имеющим, соответственно, один корень, говорят, что оно имеет два совпадающих корня (?). Это связано с разложением многочлена на множители. Правильнее, на мой взгляд, что в этом случае нужно говорить и понимать "один корень кратности два".)

Если D>0, то уравнение имеет два различных корня:

x₁= , x₂= .

Если b=2k, то D₁=k²-ac;

x₁= , x₂= .

Теорема Виета. Если x₁и x₂-корни квадратного уравнения ax²+bx+c=0, то

x₁+x₂=– , x

---

₁ x₂= .

Для приведенного квадратного уравнения x²⁺px+ q= 0 (при условии p² 4q)

x₁+x₂=– p; x₁ x₂=q;

x₂-x₁= ; x₁ ²₊x₂ ²=p²-2q.

Свойства корней квадратного уравнения:

1. Если D>0, a>0, то уравнение имеет два действительных различных корня, знаки которых при C>0 одинаковы и противоположны знаку коэффициента b, а при C<0 разные, причем по абсолютной величине больше тот из корней, знак которого противоположен знаку b.

2. Если D=0, a>0, то уравнение имеет один корень кратности два, знак которого противоположен знаку b.

3. Если D<0, a>0, то корней нет.

Аналогично устанавливаются свойства корней и для a<0.

Справедливы следующие утверждения:

1. Если в квадратном уравнении поменять местами коэффициенты a и c, то получим уравнение, корни которого обратны корням данного.

2. Если в квадратном уравнении поменять знак коэффициента b, то получим уравнение, корни которого противоположны корням данного.

3. Если в квадратном уравнении коэффициенты a и c разных знаков, то оно имеет действительные корни.

4. Если a>0, D=0, то левая часть квадратного уравнения есть полный квадрат, и наоборот, если левая часть уравнения есть полный квадрат, то a>0, D=0.

При изучении неполных квадратных уравнений в устную и письменную работу полезно включать такие задания:

33. При каких значениях m ровно один из корней уравнения равен нулю:

а) 3x²+x+2m–3=0;

б) x²–2x+m²–1=0;

в) 2x²–mx+2m²–3m=0;

г) x²+(m+3)x+m–3=0.

34. При каких значениях m корни уравнения равны по модулю, но противоположны по знаку:

а) x²+(3m-5)x-2=0;

б) 2x²-(5m-3)x+1=0;

в) 3x²+(m²-4m)x+m-1=0;

г) 4x²+(5m-1)x+3m²+m=0.

35. При каких значениях m корень уравнения кратности два равен нулю:

а) 3x²-(m-1)x-1-m²=0;

б) x²-(3m²+4m)x+9m²-16=0;

в) 2x

---

²+(3m²-mx)-m³-3m=0;

г) x²+(16-m⁴)x+m³+8=0.

36. Решите уравнение:

а) x²+ a=0;

б) x²– 2x+1=0;

в) a²x²– 4=0;

г) a(x²– 6x+9)+4=0.

К основным знаниям и умениям по этой теме относится умение решать полные квадратные уравнения.

Особенность решения этих уравнений заключается не только в том, что с изменением параметра у них меняются числовые коэффициенты, но и в том, что могут измениться важнейшие характеристики всего уравнения.

Начинать "общаться" с квадратными уравнениями следует с класса задач, где за счет параметра на переменную накладываются какие-либо искусственные ограничения. Для таких задач характерны следующие формулировки: при каком значении параметра уравнение имеет один корень, два корня, не имеет корней.

Обычно такие задачи не вызывают трудностей. Основное, что требуется от учащегося – это внимательность к формулировке.

37. При каких значениях параметра c уравнение 5x²-4x+с=0:

а) имеет действительные различные корни;

б) имеет один корень кратности два;

в) не имеет действительных корней?

Решение:

D₁=4-5c

а) Если D₁>0, 4-5c>0, 5c<4, c<0,8 , то уравнение имеет два различных корня;

б) Если D=0, 4-5c=0, c=0,8 , то уравнение имеет один корень кратности два;

в) Если D<0, 4-5c<0, 5c>4, c>0,8 , то уравнение не имеет корней.

Ответ: а) c<0,8;б) c=0,8; в) c>0,8.

При работе с этим уравнением акцентируем внимание на следующих вопросах:

1. Какова степень уравнения?

2. Зависит ли степень уравнения от значения параметра с?

Далее усложняем задачу, предлагая уравнения, в которых коэффициент при второй степени неизвестной зависит от параметра.

38. При каких значениях a уравнение ax²+2x+1=0 имеет два различных корня?

Решение:

1) Данное уравнение является квадратным относительно xпри a 0.

(Комментарий: первоначально учащиеся формулируют определение квадратного уравнения).

2) Уравнение имеет различные корни, когда его D₁>0.

D₁=1-a, 1-a>0, a<1.

3) При a=0 получается уравнение 2x+1=0, имеющее один корень.

Ответ: a (

---

 0) U (0; 1)

Формулируем правило:

Если коэффициент при x²многочлена второй степени содержит параметр, необходимо разбирать случай, когда он обращается в нуль.

Опять с уравнением работаем очень подробно, обсуждая каждую деталь решения.

39. Найти все значения параметра a, для которых квадратное уравнение

(a+1)x²+2(a+1)x+a-2=0

а) имеет два различных корня;

б) не имеет корней;

в) имеет один корень.

Решение:

(Комментарий: Несколько раз прочитать формулировку, сравнить с предыдущим заданием, найти отличие в формулировках).

1) Так как по условию уравнение квадратное, то a+1  0, a –1.

(Вывод: Из решения следует исключить это число).

2) D₁=(a+1)²-(a+1)(a-2)=12(a+1).

а) Если D₁>0, a+1>0, a>–1, то уравнение имеет два различных корня;

б) Если D₁<0, a+1<0, a<–1, то уравнение не имеет корней;

в) Уравнение имеет один корень, если D₁₌0, a+1= 0, a=–1, но a –1 (из п.1), следовательно, решений нет.

Ответ: а) a>–1;б)a<–1; в)решений нет.

40. При каких a уравнение ax²-x+3=0 имеет единственное решение?

(Комментарий: Обсуждаем, какие из известных нам типов уравнений имеют один корень; каким может быть это уравнение в зависимости от a; определен ли в условии задачи тип уравнения).

Решение:

1) Если a=0, –x+3=0, x=3, то уравнение имеет один корень.

1) Если a 0, то уравнение имеет один корень, когда D=0.

D=1-12a, 1-12a=0, a= .

Ответ: a=0, a= .

Задачи 36 -39 являются ключевыми по этому вопросу.

В классе и для домашней работы можно предложить такие задачи:

41. При каких значениях параметра b уравнение x²+bx+4=0:

а) имеет один из корней, равный 3;

б) имеет различные корни;

в) имеет один корень;

г) не имеет корней?

42. При каких значениях параметра b

---

корни уравнения 4x²+(3b²-5 b+2)x-3=0 равны по модулю?

Ответ:  ;  1.

43. Найдите наибольшее целое значение k, при котором уравнение x²+x-k=0 не имеет корней.

44. При каком значении a уравнение:

а) ax²-(a+1)x+2a-1=0; б) (a+2)x²+2(a+2)x+2=0

имеет один корень?

Ответ: а) – ; 0 ; б) 0.

45. При каких значениях a уравнение (a²-6a+8)x²+(a²-4)x+(10-3a-a²)=0 имеет более двух корней?

Ответ: 2.

46. Докажите, что при любом значении k уравнение 3y²-ky-2=0 имеет два корня.

47. Докажите, что не существует такого значения m, при котором уравнение x²-mx+m-2=0 имело бы один корень.

По опыту работы, только после усвоения учащимися вопроса исследования квадратного уравнения есть смысл переходить к задаче: решить уравнение.

48. Решить уравнение x²+5ax+4a²=0.

Решение:

1) Коэффициент при x²равен 1, следовательно, уравнение квадратное.

2) Найдем дискриминант: D=(5a)²-4 1 4a²=25a²-16a²=9a².

а) При a 0, D>0: уравнение имеет два корня = 3a:

x_1,2= .

(Комментарий: В этом месте решения возникает техническая сложность, связанная с раскрытием модуля. Несколько раз следует подробно записать нахождение корней.)

Если а>0, x₁= = –4a, x₂= = –a.

Если a<0, x₁=

---