Файл: Курс лекций по сопротивлению материалов Уфимский государственный нефтяной технический университет, 2012 Введение Задачи, цель и предмет курса.doc

р (рис. 12.7).

В этом случае _ R (радиус цилиндра), _т (радиус кривизны образующей цилиндра) и h толщина цилиндра.




Отсекаем поперечным сечением часть цилиндра и составляем для неё уравнение равновесия

Г
_т2 Rh=P.


_т2 Rh= R²p.

де сила Р, в независимости от формы днища, будет равна Р= R²p. Тогда,

Таким образом,

_тpR/2h.

Из формулы Лапласа находим

_ pR/h,

т.е. окружное напряжение оказываются вдвое большим меридионального. Элемент, выделенный из цилиндрической оболочки, находится в двухосном напряженном состоянии

₁_ , ₂_т , ₃=0.

По теории Мора, независимо от величины k ,

_эквМ=₁ - k ₃pR/h.

По третьей гипотезе прочности:

_эквIII=₁ - ₃.

Подставляя ₁=pR/h и ₃  получаем

_эквIII= pR/h.

По четвертой гипотезе прочности
_эквIV= ,

т.к. ₁ pR/h , ₂pR/2h и ₃0,

то _эквIV =0,86 (pR/h).
Разница в результатах получаемых по формулам


_эквIII= pR/h и _эквIV =0,86 (pR/h), составляет 14%. Рекомендуется применять формулу, основанную на четвертой гипотезе прочности.
3.Полусфера. Полусферический сосуд (рис.12.8) радиусом R и толщиной h заполнен жидкостью с удельным весом

---

.

Определить напряжения в сосуде и построить эпюры _ , _т.

Нормальным коническим сечением под углом отсекаем нижнюю часть сферической оболочки и составляем для неё уравнение равновесия
-_т 2 Rsin hsin + p ( Rsin)²+ G=0,

---

где G -вес жидкости в объёме расположенным ниже отсеченной части оболочки

G=V=0.3 b²(3R-b),
р - давление на отсечённую часть p=c= R cos,

в=R(1-cos).

Находим:

Подставляем в уравнение Лапласа -_тнаходим



Построим эпюры _т и_. (12.9).


Напряжения в нижней точке сферы _т и_. равны. В верхней точке_имеет отрицательное значение.

Там, где _т и_ имеют разные знаки, _{экв М} =_т-k_.. Тогда расчётное напряжение равно

max_экв = R²(1+k)  3h,

где по- прежнему k=_ТР_ТС .

Чтобы оболочка не теряла устойчивость от возникающих сжимающих напряжении, её необходимо в этом месте укреплять.
Вопросы для самопроверки

1. 
   На каких допущениях построена простейшая теория расчета тонкостенных сосудов и оболочек?
   
2. 
   Как выводится уравнение Лапласа?
   
3. 
   Как проводится расчет на прочность оболочек?
   
4. 
   Каковы особенности расчета сферического провесного днища?
   

13. Толстостенные цилиндры (трубы)
Цилиндры (трубы) считаются толстостенными, если толщина стенки превосходит 0,1 среднего радиуса, т.е. должно выполняться условие

или

---

Ограничения задачи:

1. 
   цилиндр (труба) имеет правильное неизменное круговое сечение и лишен (лишена ) днищ;
   
2. 
   нагрузка, приложенная к цилиндру (трубе), - радиальная и равномерно распределена как по внутренней поверхности цилиндра (трубы) (р₁), так и на внешней поверхности (р₂).
   

Утверждения относительно характера деформации:

1. 
   круговая форма цилиндра (трубы ) сохраняется;
   
2. 
   все точки поперечного сечения имеют в своей плоскости только радиальное перемещение;
   
3. 
   точки, лежащие до деформации на одной цилиндрической поверхности, будут и после деформации находиться на одной цилиндрической поверхности.
   

13.1. Основные уравнения для осесимметричного тела
Рассмотрим цилиндр изображенный на рис 13.1. Двумя сечениями, перпендикулярными к оси цилиндра и находящимися друг от друга на расстоянии, равном единице (рис. 13.1,а), вырежем кольцо (рис. 13.1,б). В этом кольце выделим малый элемент с углом dи цилиндрическими поверхностями с радиусами r иr+dr(рис. 13.1,б,г). Нормальные напряжения на цилиндрической поверхности элемента, имеющей радиус r(радиальные напряжения), обозначим через _r; на радиусе r+drнапряжения получат приращения и будут равны _r+d_r (рис. 13.1,г). Нормальные напряжения плоских боковых гранях (окружные напряжения) обозначим через _(рис. 13.1,в,г).

Вследствие осевой симметрии цилиндра и нагрузки касательные напряжения по его граням отсутствуют. Поэтому нормальные напряжения _rи _ будут
главными напряжениями. Так как днищ нет, то нормальные напряжения _z=0.

Статическая сторона задачи.

Составим для выделенного элемента (рис. 13.1,б,г) уравнение равновесия проекций всех сил на радиус, получим



Раскрывая скобки, учитывая малость угла принимаем и отбрасывая величины высших порядков малости, получаем

(13.1)

Это уравнение содержит два неизвестных напряжения

---

_rи _ .

Д
ля их определения, придерживаясь общего плана решения статически
неопределимых задач, рассмотрим ещё геометрическую и физическую стороны задачи.

Геометрическая сторона задачи.

Деформация элемента симметрична относительно оси и поэтому вызовет радиальные перемещения всех точек цилиндра (рис. 13.1,д). Обозначим радиальное перемещение цилиндрической поверхности радиуса r через u, тогда перемещение цилиндрической поверхности радиуса r+dr будет u+du. Абсолютное удлинение элемента длиной dr будет равно du, относительное удлинение

(13.2)

Относительное удлинение в окружном (тангенциальном) направлении на радиусе r

(13.3)

Физическая сторона задачи.

В случае двух стороннего растяжения (_z=0, так как днищ нет), которому подвергается рассматриваемый элемент, напряжения и деформации связаны между собой следующими зависимостями:



Учитывая (13.2) и (13.3), получим

(13.4)

Синтез.

Подставляя выражение (13.4) в уравнение (13.1), получим для определения перемещения u линейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами

(13.5)

Общее решение этого уравнения в перемещениях имеет вид

(13.6)
Постоянные интегрирования А и В находятся из условия _r на внутренней и наружной поверхностях цилиндра.
Представим уравнение (13.1) в виде

(13.7) тогда

---