Файл: Курс лекций по сопротивлению материалов Уфимский государственный нефтяной технический университет, 2012 Введение Задачи, цель и предмет курса.doc

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.11.2023

Просмотров: 374

Скачиваний: 4

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

СОДЕРЖАНИЕ

Деформация, остающаяся в теле после разгрузки, получила названиеостаточной или пластичной, а способность тела приобретать пластическую деформацию – пластичность.

Сплошность

7.1.1. Общие замечания

Прогиб точки 1, вызванный силой, приложенной в точке 2, равен прогибу

Методика расчёта

Нагрузка, при которой прямолинейная форма перестаёт быть формой устойчивого равновесия, называется критической(Fкр ). Таким образом, исследование устойчивости стержня заключается в определении Fкр. Для обеспечения устойчивости допускаются нагрузки, составляющие лишь часть критических. Отношение критической нагрузки Fкр к её допускаемой величине ([F]y) называется коэффициентом устойчивости: (11.1)Коэффициент ny зависит от материала стержня. Его рекомендуемые величины находятся в пределах: для стальных стоек 1.5…3; для деревянных 2.5…3.5; для чугунных 4.5…5.5. Метод Эйлера для определения критической силы. Формула Эйлера.Для исследования устойчивости равновесия упругих систем имеется несколько методов: метод малых колебаний, энергетический метод и др. В инженерной практике для невесомых стержней с нагрузкой, приложенной точно в центре тяжести торцовых сечений и параллельно продольной оси стержня используют более простой метод – метод Эйлера.Метод Эйлера основан на анализе разветвления форм равновесия упругой системы. Следовательно, при критической силе наряду с исходной прямолинейной формой как бы возможна смежная, весьма близкая к ней искривленная форма. Для вывода формулы Эйлера рассмотрим шарнирно - опёртый, центрально - сжатый стержень постоянного сечения (рис. 11. 3) в слегка отклонённом состоянии от прямолинейной формы.Изгибающий момент в произвольном сечении равенF (11.2)Дифференциальное уравнение изгиба стержня запишется в виде: (11.3)или (11.4)где (11.5)Интеграл дифференциального уравнения (11.4) имеет вид (11.6)Для определения значений произвольных постоянных А и В используем граничные условия. Первое граничное условие: при z=0 и Следовательно, уравнение оси изогнутого бруса (6) примет вид (11.7)Таким образом, стержень изгибается по синусоиде.Второе граничное условие: при z=l и  Bsinkl=0Это условие выполняется в двух случаях:1) В=0; 2) sinkl=0Первый случай нас не интересует, так как при В=0 прогибы во всех точках равны нулю, следовательно, стержень остается прямым.Второе условие sinkl=0 дает kl= 2 3 nучтя значение k (11.5), получим: Итак, получено не одно, а множество значений критической силы. Каждой критической силе соответствует своя форма равновесия (рис. 11.4). Подставляя найденное значение k в уравнение оси изогнутого бруса (11.7), замечаем, что при первой критической силе стержень изгибается по одной полуволне синусоиды, а при всех последующих число полуволн равно номеру соответствующей критической силы. Равновесие, соответствующее первой форме изгиба, является устойчивым, а все всем остальным – неустойчивым.Для инженерных расчетов практический интерес представляет только наименьшая критическая сила (11.8)Эту формулу в 1744 г. впервые получил Леонард Эйлер, поэтому она называется формулой Эйлера, а определяемую этой формулой критическую силу – эйлеровой силой.Из формулы (11.8) видно, что величина критической силы прямо пропорциональна жесткости и обратно пропорциональна квадрату длины стержня.Для стержня, работающего в упругой стадии, критическая сила зависит только от геометрических размеров стержня и модуля упругости материала, но совершенно не зависит от прочностных характеристик материала, из которого изготовлен стержень. Два стержня с одинаковыми геометрическими размерами, но изготовленные из различных сталей и работающие в упругой стадии, теряют устойчивость при одной и той же критической силе.Таким образом, выясняется резкая разница между работой стержня на растяжение и на сжатие. Предельная растягивающая сила непосредственно зависит от прочностных характеристик материала и поэтому различна для разных сортов стали, в то время как при сжатии в пределах упругости наблюдается совершенно иная картина. Предельная растягивающая сила не зависит от длины стержня, в то время как при сжатии она быстро падает с увеличением длины.Продольный изгиб сжатых стержней особенно опасен потому, что он наступает внезапно, и поэтому его трудно предупредить. В растянутых стержнях признаки опасного состояния часто наступают задолго до разрушения, а в сжатых стержнях каких- либо заметных признаков потери устойчивости, как правило, установить не удается.11.3. Влияние способов закрепления концов стержня на величинукритической силыНа рис. 11.5 показаны различные случаи закрепления концов сжатого стержня. Для каждого случая необходимо проводить свое решение аналогичное тому, что сделано в предыдущем параграфе для шарнирно опертого стержня. Эти решения показывают, что для всех случаев, изображенных на рис. 11.5, критическую силу можно представить в виде формулы: (11.9)где   коэффициент приведения длины, а величина ll0называется приведенной (свободной) длиной. Понятие о приведенной длине было впервые введено профессором Петербургского института путей сообщения Ф.С. Ясинским (1892).Свободная длина l0может быть истолкована как некоторая условная длина шарнирно опертого стержня, имеющего такую же критическую силу, как заданный стержень. В отдельных случаях это положение вытекает из чисто геометрического толкования (длина полуволны синусоды). Так, например, если стержень заделан одним концом, рассматривать как половину стержня, шарнирно опертого по концам, то l0= 2l. Следовательно, =2.Для стержня, заделанного двумя концами, длина полуволны, замеренная между двумя точками перегиба, где Мх=0,составит половину длины стержня, следовательно, для этого случая =0,5. 11.4. Пределы применимости формулы Эйлера. Формула Ясинского Формула Эйлера, полученная более 267 лет назад, долгое время являлась предметом дискуссий. Формула Эйлера для некоторых случаев не подтверждалась экспериментами. Объясняется это тем, что формула Эйлера выводилась в предположении, что при любом значении силы стержень работает в пределах упругих деформаций с использованием закона Гука. По этому формулу Эйлера нельзя применять в случаях, когда критические напряжения больше предела пропорциональности. Для установления предела применимости формулы Эйлера найдем Здесь радиус инерции. Обозначим через  Величина  называется гибкостью стержня.Итак, (11.10) Это так же формула Эйлера, но записанная для критического напряжения, а не для критической силы. Принято изображать уравнение (11.10) в координатах кр -(рис. 11.6). Полученную кривую часто называют гиперболой Эйлера. Как видно из уравнения (11.10), при малых гибкостях критические напряжения могут значительно превосходить предел прочности материала. Действительно короткие и толстые стержни (например, кубы, имеющие гибкость 

Для расчёта на прочность таких конструкций пользуются расчётной моделью в виде оболочки.

Так как

Отсюда определяется меридиональное напряжение т.

Напряженное состояние является двухосным

Из формулы Лапласа находим

где G -вес жидкости в объёме расположенным ниже отсеченной части оболочки

15. Динамическое действие нагрузок

15. Динамическое действие нагрузок…………………………………..216

р (рис. 12.7).

В этом случае R (радиус цилиндра), т (радиус кривизны образующей цилиндра) и h толщина цилиндра.




Отсекаем поперечным сечением часть цилиндра и составляем для неё уравнение равновесия

Г
т2 Rh=P.


т2 Rh= R2p.

де сила Р, в независимости от формы днища, будет равна Р= R2p. Тогда,

Таким образом,

тpR/2h.

Из формулы Лапласа находим


pR/h,

т.е. окружное напряжение оказываются вдвое большим меридионального. Элемент, выделенный из цилиндрической оболочки, находится в двухосном напряженном состоянии

1 , 2т , 3=0.

По теории Мора, независимо от величины k ,

эквМ=1 - k 3pR/h.

По третьей гипотезе прочности:

эквIII=1 - 3.

Подставляя 1=pR/h и 3  получаем

эквIII= pR/h.

По четвертой гипотезе прочности
эквIV= ,

т.к. 1 pR/h , 2pR/2h и 30,

то эквIV =0,86 (pR/h).
Разница в результатах получаемых по формулам


эквIII= pR/h и эквIV =0,86 (pR/h), составляет 14%. Рекомендуется применять формулу, основанную на четвертой гипотезе прочности.
3.Полусфера. Полусферический сосуд (рис.12.8) радиусом R и толщиной h заполнен жидкостью с удельным весом
.

Определить напряжения в сосуде и построить эпюры ,т.

Нормальным коническим сечением под углом отсекаем нижнюю часть сферической оболочки и составляем для неё уравнение равновесия
-т 2 Rsin hsin + p ( Rsin)2+ G=0,


где G -вес жидкости в объёме расположенным ниже отсеченной части оболочки


G=V=0.3 b2(3R-b),
р - давление на отсечённую часть p=c= R cos,

в=R(1-cos).

Находим:

Подставляем в уравнение Лапласа -тнаходим



Построим эпюры т и. (12.9).


Напряжения в нижней точке сферы т и. равны. В верхней точкеимеет отрицательное значение.

Там, где т и имеют разные знаки, экв М =т-k.. Тогда расчётное напряжение равно

maxэкв = R2(1+k) 3h,

где по- прежнему k=ТРТС .

Чтобы оболочка не теряла устойчивость от возникающих сжимающих напряжении, её необходимо в этом месте укреплять.
Вопросы для самопроверки

  1. На каких допущениях построена простейшая теория расчета тонкостенных сосудов и оболочек?

  2. Как выводится уравнение Лапласа?

  3. Как проводится расчет на прочность оболочек?

  4. Каковы особенности расчета сферического провесного днища?


13. Толстостенные цилиндры (трубы)
Цилиндры (трубы) считаются толстостенными, если толщина стенки превосходит 0,1 среднего радиуса, т.е. должно выполняться условие

или


Ограничения задачи:

  1. цилиндр (труба) имеет правильное неизменное круговое сечение и лишен (лишена ) днищ;

  2. нагрузка, приложенная к цилиндру (трубе), - радиальная и равномерно распределена как по внутренней поверхности цилиндра (трубы) (р1), так и на внешней поверхности (р2).

Утверждения относительно характера деформации:

  1. круговая форма цилиндра (трубы ) сохраняется;

  2. все точки поперечного сечения имеют в своей плоскости только радиальное перемещение;

  3. точки, лежащие до деформации на одной цилиндрической поверхности, будут и после деформации находиться на одной цилиндрической поверхности.



13.1. Основные уравнения для осесимметричного тела
Рассмотрим цилиндр изображенный на рис 13.1. Двумя сечениями, перпендикулярными к оси цилиндра и находящимися друг от друга на расстоянии, равном единице (рис. 13.1,а), вырежем кольцо (рис. 13.1,б). В этом кольце выделим малый элемент с углом dи цилиндрическими поверхностями с радиусами r иr+dr(рис. 13.1,б,г). Нормальные напряжения на цилиндрической поверхности элемента, имеющей радиус r(радиальные напряжения), обозначим через r; на радиусе r+drнапряжения получат приращения и будут равны r+dr (рис. 13.1). Нормальные напряжения плоских боковых гранях (окружные напряжения) обозначим через (рис. 13.1,в,г).

Вследствие осевой симметрии цилиндра и нагрузки касательные напряжения по его граням отсутствуют. Поэтому нормальные напряжения rи будут
главными напряжениями. Так как днищ нет, то нормальные напряжения z=0.

Статическая сторона задачи.

Составим для выделенного элемента (рис. 13.1,б,г) уравнение равновесия проекций всех сил на радиус, получим



Раскрывая скобки, учитывая малость угла принимаем и отбрасывая величины высших порядков малости, получаем

(13.1)

Это уравнение содержит два неизвестных напряжения
rи .

Д
ля их определения, придерживаясь общего плана решения статически
неопределимых задач, рассмотрим ещё геометрическую и физическую стороны задачи.

Геометрическая сторона задачи.

Деформация элемента симметрична относительно оси и поэтому вызовет радиальные перемещения всех точек цилиндра (рис. 13.1,д). Обозначим радиальное перемещение цилиндрической поверхности радиуса r через u, тогда перемещение цилиндрической поверхности радиуса r+dr будет u+du. Абсолютное удлинение элемента длиной dr будет равно du, относительное удлинение

(13.2)

Относительное удлинение в окружном (тангенциальном) направлении на радиусе r

(13.3)

Физическая сторона задачи.

В случае двух стороннего растяжения (z=0, так как днищ нет), которому подвергается рассматриваемый элемент, напряжения и деформации связаны между собой следующими зависимостями:



Учитывая (13.2) и (13.3), получим

(13.4)

Синтез.

Подставляя выражение (13.4) в уравнение (13.1), получим для определения перемещения u линейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами

(13.5)

Общее решение этого уравнения в перемещениях имеет вид

(13.6)
Постоянные интегрирования А и В находятся из условия r на внутренней и наружной поверхностях цилиндра.
Представим уравнение (13.1) в виде

(13.7) тогда