Файл: Крюков В.Г. Основы работоспособности технических систем.doc

Расчет эмпирических функций. Используя данные сформированного статистического ряда, определяются статистические оценки показателей надежности, т. Е. Эмпирические функции:

- функция распределения отказов (оценка ВО)

…………….…………….…………….……………. (3.3)

- функция надежности (оценка ВБР)

(3.4)

- оценка плотности распределения отказов

(3.5)

Рис. 3.3-Гистограмма оценки интенсивности отказов

- оценка интенсивности отказов

(3.6)

На Рис. 3.3, приведена гистограмма статистической оценки интенсивности отказов . Правила построения графиков ясны из приведенных выше расчетных формул.

Расчет статистических оценок числовых характеристик. Для расчета статистических оценок числовых характеристик можно воспользоваться данными сформированного статистического ряда. Оценки характеристик определяются:

- средней наработкой до отказа (статистическое среднее наработки):

(3.7)

- дисперсией наработки до отказа (эмпирическая дисперсия наработки):

(3.8)

где серединаi-го интервала наработки, т. е. среднее значение наработки в интервале;

- средним квадратичным отклонением

Целесообразно рассчитать оценки и некоторых вспомогательных характеристик рассеивания случайной величины T:

- выборочный коэффициент асимметрии и выборочный эксцесс наработки до отказа

(3.9)

Эти характеристики используются для выбора аппроксимирующей функции. Так коэффициент асимметрии является характеристикой «скошенности» распределения, например, если распределение симметрично относительно МО, то A = 0. На Рис. 3.4а распределение f₂(t) имеет положительную асимметрию A > 0, а f₃(t) – отрицательную A < 0.

Рис. 3.4 Влияние коэффициента асимметрии и эксцесса на f(t)

Эксцесс характеризует «крутость» (остро- или плоско-вершинность) распределения. Для нормального распределения E = 0. Кривые f(t), более остро-вершинные по сравнению с нормальной, имеют E > 0, а наоборот – более плосковершинные, E < 0 (Рис. 3.4б).

Выбор закона распределения. состоит в подборе аналитической функции наилучшим образом аппроксимирующей эмпирические функции надежности. В значительной мере, эта процедура является субъективной и зависит от априорных знаний об объекте и его свойствах, условиях работы, а также анализа вида зависимостей . Очевидно, что выбор распределения будет зависеть, прежде всего, от вида эмпирической функции, а также от вида -.

Предположим, что по тем или иным соображениям, выбран гипотетический закон распределения, заданный теоретической зависимостью плотности распределения: , гдеa, b, c, … - неизвестные параметры распределения. Требуется подобрать эти параметры так, чтобы функция f(t) наилучшим образом сглаживала ступенчатый график . При этом используется следующий прием: параметрыa, b, c и др. выбираются с таким расчетом, чтобы несколько важнейших числовых характеристик теоретического распределения были равны соответствующим статистическим оценкам.

На графике вместе с строится теоретическая ПРО, что позволяет визуально оценить результаты аппроксимации, т.е. расхождение междуи. Поскольку эти расхождения неизбежны, то возникает вопрос: объясняются ли они случайными обстоятельствами, или связанны с тем, что теоретическое распределение выбрано ошибочным? Ответ на этот вопрос дает расчет критерия согласия.

Расчет критерия согласия. Этот критерий проверяет гипотезу о том, что случайная величина T, представленная своей выборкой, имеет распределение предполагаемого типа. Проверка состоит в следующем. Рассчитывается критерий, как некоторая мера расхождения теоретического и эмпирического распределений, причем эта мера является случайной величиной. Чем больше мера расхождения, тем хуже согласованность эмпирического распределения с теоретическим. При высоком значении этой меры гипотезу о выборе закона распределения следует отвергнуть, как малоправдоподобную. В противном случае экспериментальные данные не противоречат принятому распределению.

Из известных критериев наиболее применяемым является критерий согласия χ² (хи-квадрат) Пирсона. Проверка согласованности распределений по этому критерию (для вышеприведенного рассмотрения с отказами) производится следующим образом: - рассчитываются теоретические частоты появления отказов в интервалах [t_i, t_i + Δt];

- рассчитывается критерий χ² (мера расхождения)

(3.10)

- определяется число степеней свободы R = k – L , где L – число независимых условий, наложенных на частоты , например:

а) условие ;

б) условие совпадения математических ожиданий ;

в) условие совпадения дисперсий .

и т. д. Чаще всего L = 3.

- по рассчитанным значениям χ² и R, используя таблицы распределения Пирсона, определяется вероятность Pχ того, что теоретически выбранное распределение соответствует экспериментальным данным

Ответ на вопрос насколько мала должна быть вероятность Pχ, чтобы отбросить гипотезу о выборе того или иного закона распределения – во многом неопределенный. На практике, если Pχ < 0,1, то рекомендуется подыскать другой закон распределения. В целом, с помощью критерия согласия, можно опровергнуть выбранную гипотезу, если же Pχ достаточно велика, то это не может служить доказательством правильности гипотезы, а указывает лишь на то, что гипотеза не противоречит данным эксперимента.

3.2 Нормальный закон распределения наработки до отказа Классическое нормальное распределение.

Нормальное распределение или распределение Гаусса является наиболее универсальным, удобным и широко применяемым. Считается, что наработка подчинена нормальному распределению (нормально распределена), если плотность распределения отказов (ПРО) описывается выражением:

(3.11)

где a и S – параметры распределения, соответственно, математического ожидания и среднего квадратичного отклонения, которые по результатам испытаний принимаются: где- оценки средней наработки и дисперсии.

Графики изменения показателей безотказности при нормальном распределении приведены на Рис. 3.5. Выясним смысл параметров Т₀ и S нормального распределения. Из графика f(t) видно, что Т₀ является центром симметрии распределения, поскольку при изменении знака разности (t - T₀) выражение (3.11) не меняется. При t = Т₀ величина f(t) достигает своего максимума: .

Рис. 3.5 Изменение показателей безотказности при нормальном распределении

При сдвиге Т₀ влево/вправо по оси абсцисс, кривая f(t) смещается в ту же сторону, не изменяя своей формы. Таким образом, Т₀ является центром рассеивания случайной величины T, и ее параметр S характеризует форму кривой f(t), которая. тем выше и острее, чем меньше S. Изменение графиков P(t) и λ(t) при различных СКО наработок (S1 < S2 < S3) и Т₀ = const приведено на Рис. 3.6.

Рис. 3.6 Изменение графиков P(t) и λ(t) при различных СКО наработок

Используя полученные ранее соотношения между показателями надежности, можно было бы записать выражения для P(t); Q(t) и λ(t) по известному выражению (3.11) для f(t). Ввиду громоздкости этих интегральных выражений для практического расчета показателей надежности вычисление интегралов заменяется использованием таблиц. С этой целью перейдем от случайной величины T к некоей случайной величине