Файл: Конспект лекций Для студентов специальности 080801. 65 - приклад.doc

Для узлов l, g, n сети частоты перехода к узлу t равняются соответственно: q_lt = 0,5; q_mt = 0,7; q_nt=0,85, а коэффициенты посещаемости этих узлов равняются V_l = 12; V_g =17; V_n =19. Узел t используется на 50%, среднее время обслуживания узлом t поступающих требований составляет 25 мс. Необходимо найти среднее время пребывания и среднее количество требований в сети.

Определим коэффициент посещаемости узла t, используя уравнения баланса потоков (2.10), записанные через коэффициенты посещаемости узлов:

Находим интенсивность поступления требований в сеть

В выражение (2.22) входят известные из условий операционные переменные: U, = 50% и S, = 0,025 с. Следовательно получим

Из выражения (2.19) находим время пребывания требования в сети

Для определения среднего количества требований в сети воспользуемся формулой Литтла:

Пример 2.2. Рассмотрим сеть, в которую поступают требования как из обслуживающих устройств (замкнутая часть сети), так и извне (рис. 2.8).

Есть М= 40 обслуживающих устройств. Среднее время обслу-пнания каждым Z= 15 с. В результате проведенных исследований получены такие данные о сети:

- среднее время пребывания требований, которые поступают от 40 устройств обслуживания в сеть, равняется 5 с;

- среднее время обслуживания любого требования узлом t составляет 40 мс;

- каждое требование, которое поступает от М устройств обслуживания, порождает 10 требований к узлу t;

- каждое требование, которое поступает в систему извне, порождает 5 требований к узлу t;

узел t используется на 90%.

Нужно определить нижнюю границу времени пребывания в сети требований, которые поступают от М устройств обслуживания с интенсивностью входящего потока x₀ и от внешнего источника требований в сеть с интенсивностью X_t, что выходят из узла t.

При решении поставленной задачи переменные, которые касаются поступающих от М устройств обслуживания требований, будем обозначать звездочкой.

Из выражения (2.20) для потока требований от М устройств находим

где Z- среднее время обслуживания М устройствами; R^* - среднее время пребывания требований, которые поступили от 40 устройств обслуживания в сеть. Тогда

Интенсивность потока требований в узел t определяем как сумму

интенсивности потоков требований от устройств обслуживания и интенсивности потока внешних требований, то есть X_t* +Х_t ,. Тогда в соответствии с выражением (2.3.1) можно записать:

Используя формулу для коэффициента посещаемости (2.8), находим X_t*:

Теперь можно найти интенсивность Х₀ входящего потока внешних требований в сеть

Допустим, что исходные условия изменились и интенсивность входящего потока внешних требований увеличилась втрое, то есть Х₀= 1,5 требований/с. Тогда X_t = V_tХ₀ =7,5 требований/с. Считая, что среднее время обработки требований узлом t не изменилось, получаем, что максимально возможная интенсивность обслуживания требований узлом t, составляет 1/S_t = 25 требований/с при 100% использовании узла t. Таким образом, интенсивность обслуживания требований чем t от устройств обслуживания не может превышать

Итак, нижняя граница времени пребывания в сети требований, которые поступают от 40 устройств обслуживания в соответствии с выражением (2.19)

Таким образом, увеличение в три раза интенсивности потока внешних требований приведет к увеличению среднего времени пребывания требований в сети от 40 устройств обслуживания на 2,9 с.

2.4. Анализ узких мест в сети

Поиск узких мест в сети является важным аспектом анализа ее работы. Узкое место создается тем узлом сети, у которого коэффициент загрузки U приближается к единице. В этом узле образуется большая очередь, которая при U≥ 1 становится бесконечной, и сеть переходит в неустойчивый режим работы. Такой узел становится «насыщенным» требованиями. Узкие места в сети обусловливают ее пропускную способность, то есть полностью определяют время пребывания в сети. Поэтому при анализе работы сети необходимо особое внимание уделять поиску узких мест.

Покажем на простом примере, почему узкое место определяет пропускную способность сети. Рассмотрим трубопровод, в котором есть трубы разного диаметра, доставляющие воду потребителю. Если после трубы маленького диаметра поставить трубу с любым большим диаметром, то потребитель не получит большего количества воды за единицу времени, чем ее может пропустить узкая труба. Это - так называемый эффект «узкого горлышка». Поэтому при рассмотрении таких систем важно иметь сбалансированные потоки в сети, то есть такой баланс потоков в узлах, при котором среднее время пребывания в сети было бы минимально или ее пропускная способность максимальна.

Приведем соотношения, которые связывают коэффициенты использования узлов с коэффициентами посещаемости этих узлов:

Устройство k будет «насыщено» требованиями, если его коэффициент использования близок к единице. В этом случае при выполнении гипотезы о балансе потоков интенсивности входящего потока и обслуживания будут практически совпадать, то есть

При увеличении числа требований, одновременно обслуживающихся в сети, первым достигнет насыщения тот узел d, который будет иметь максимальную величину V_i S_i i = 1,...,K, то есть

При увеличении количества требований коэффициент использования Ud приближается к 1 и X_d = 1/S_d. Поскольку X₀/X_d=1/V_d, то

Таким образом, исходный поток из сети при большом числе N полностью определяется узлом d, который является узким местом.

Определим минимальное среднее время пребывания требования R₀, если в сети есть лишь одно требование, через коэффициенты посещаемости отдельных устройств и время обслуживания устройства

На рис. 2.9 изображен график зависимости интенсивности потока в сети от количества требований в сети. При увеличении N интенсивность x₀ монотонно возрастает до предельной асимптоты V_dS_d, то есть пока на эту интенсивность не начнет влиять потенциально узкое место - узел d. На рис. 2.9 через N* обозначено число требований, при котором узкое место еще не влияет на пропускную способность сети.

Для простейшей замкнутой сети, если количество устройств M = 1, то R' = R'₀. При увеличении М поток из сети будет возрастать, но не больше, чем Х₀ =1/ V_dS_d. Таким образом,

Итак, при увеличении М среднее время пребывания имеет асимптоту MV_dS_d -Z. На рис. 2.10 показана зависимость среднего времени пребывания в замкнутой сети от числа устройств М. Асимптота, которая создает узкое место в сети, пересекает ось абсцисс в точке M_d=Z/ V_dS_d.