Файл: 00280F99.doc

Если бы генеральная совокупность и выборка имели распределение деталей по закону равной вероятности, то выборочный контроль значительно упростился бы, но, к сожалению, закономерности не совпадают и в общем случае:

что и является причиной ошибок обоих родов при выборочном контроле.

Если q_n > q, то возникает ошибка первого рода и, наоборот.

В разных случаях получают разные законы распределения вероятностей попадания годных и дефектных изделий в выборку, поэтому следует правильно выбирать математический аппарат для оценки качества контроля.

При выборочном контроле применяют в основном биноминальный, гипергеометрический, Пуассона и нормальный законы распределения.

Первые три являются законами распределения случайных величин и используются при контроле по качественному признаку, когда каждое отдельное испытание в серии имеет только два исхода: изделие годное или дефектное. Нормальный закон используется при контроле по количественным признакам.

Биноминальное распределение

Вероятность P(n,z) появления в выборке объемом и числа z дефектных изделий определяется по формуле:

где q - вероятность появления брака;

р — вероятность появления годного изделия;

— сочетание из п элементов по z;

q и р — характеризуют устойчивость технологического процесса.

Допустим, что п = 30; q = 0,05 ; р = 0,95.

P (n, z) = P (30, z) — решение существует только в табличном виде и нужно задавать z в виде таблицы от 0 до z.

Пример. Вычислить в выборке число z дефектных изделий, где 0 z<9; q = 0,05; р = 0,95; n = 30. Оценки вероятности приведены в табл. 12.3.

Таблица 12.3

Оценки вероятности обнаружения дефектных изделий

Число дефектных изделий z	Вероятность Р (п, z)	Кумулятивная вероятность F(n,z)
0	0,2146	0,2146
1	0,3389	0,5535
2	0,2586	0,8122
3	0,127	0,9392
4	0,0451	0,9844
5	0,0124	0,9967
6	0,0027	0,9994
7	0,0005	0,9999
8	0,0001	0,999998
9	0,000001	0,999999

В правой части табл. 12.3 приведены результаты расчета так называемой кумулятивной вероятности, т.е., накопленной вероятности F(n,z). Величина F(n,z) позволяет оценить накопление дефектных изделий в выборке, их общее число равно:

где k — число дефектных изделий, для которых выполняется расчет.

Допустим, что k = 4: Тогда (по данным таблицы):

F(30,4)= = 0,2146 + 0,3389 + 0,2586 + 0,1270 + 0,0451 = 0,9844.

Кумулятивная вероятность показывает тенденцию наполнения выборки негодными деталями.

Данные таблицы являются начальной информацией, которая далее позволит полностью определить условия контроля с помощью выборки. На данном этапе это только информация для изучения. Графики плотности вероятности (а) и кумулятивной вероятности (б) показаны на рис. 12.2.

Рис. 12.2. Графики плотности вероятности (а)

и кумулятивной вероятности (б)

Гипергеометрическое распределение

Гипергеометрическое распределение характеризуется следующими зависимостями:

; ;

; .

Характер графиков P(n,z) и F(n,z) не отличается от ранее рассмотренных. Сам закон более точно отражает ситуацию, когда выборка не возвращается в генеральную совокупность, что обычно имеет место на производстве.

Распределение Пуассона

Распределение Пуассона является предельным для биноминального распределения, когда вероятность (q  0,1) мала, число событий велико, а математическое ожидание появления дефектных изделий является ограниченным числом.

Это распределение часто называют законом распределения редких событий. При таких условиях формула

заменяется на формулу

причем

Таблица 12.4

Сопоставление распределений

Число дефектных изделий z	Вероятность биноминального распределения P(n;z)				Вероятность распределения Пуассона
Число дефектных изделий z	q = 0,5; n = 6	q = 0,1; n = 30	q = 0,05; п = 60	q = 0,01; n = 300	Вероятность распределения Пуассона
0	0,0156	0,0424	0,0461	0,0490	0,0498
3	0,3125	0,2361	0,2298	0,2252	0,2240
10	0	0,004	0,0006	0,0008	0,008

Глава 13.

Выборочный приемочный контроль

и качество измерений

Приемочный контроль

Условия выборочного контроля наиболее адекватно отражает гипергеометрический закон распределения, рассмотренный выше. Два других закона используются для упрощенных оценок.

Решение о качестве партии изделий, принимаемой в результате выборочного контроля, требует определения объема выборки п при заданных уровне дефектности q и так называемом браковочном числе А_c..

С позиции теории, такое решение относят к решениям минимизирующим риск, и оно требует нахождения оперативной характеристики, которая определяется следующим образом:

где F(q) — вероятность приемки партии изделий, среди которых доля дефектных изделий составляет q,

А_с — приемочное число (допустимое число дефектных изделий в выборке и);

Р(п, z) — вероятности появления в выборке бракованных изделий, когда z последовательно принимает значения от 0 до А_с.

Иными словами это кумулятивная вероятность и ее можно определить по формуле:

=Р(60,0)+Р(60,1)+Р(60,2)+…Р(60,20),

где n для примера принято равным 60, a z заранее неизвестно и принято в диапазоне 0—20.

Оперативную характеристику можно представить в виде графика F(q)=f(q%), зафиксировав значение n, при заданных значениях А_с и N.

Например, используя гипергеометрический закон распределения при q от нуля до 10, при N = 1200; п = 100 и А_с = 3 получим:

где N=1200 — объем партии;

N = q  N — объем дефектных деталей в партии. Результаты расчетов приведены в табл. 13.1. Полученная оперативная характеристика контроля показана на рис 13.1.

Таблица 13.1

Оперативная характеристика плана приемочного контроля

Доля

дефектных

изделий

в партии q (в %)

Вероятность приемки F(q)

1,0

0,98

0,86

0,65

0,43

0,25

0,15

0,08

0,04

0,02

0,01

Рис. 13.1. Оперативная характеристика плана приемочного контроля

На рис. 13.1 показаны:  — риск поставщика;  — риск заказчика; AQL — приемочный уровень дефектности (accept— принимать; quality — качество; level — уровень); LQ — браковочный уровень дефектности.

На кривой F(q) = f(q) совпадение заданных AQL и (1 —  ) точке М₁ и LQ и  в точке M₂ маловероятно, что и показано на рисунке. Другими словами кривая F(q) =f(q) должна быть согласована с величинами AQL, , LQ и .

Покажем процедуру использования оперативной характеристики плана приемочного контроля на численном примере.

Пример. Поставщик (изготовитель) и заказчик (потребитель) договорились, что AQL = 2 %,  = 0,05, LQ = 5 % и  = 0,05. Объем; партии большой, поэтому можно использовать распределение Пуассона. Необходимо построить оперативную характеристику и план контроля.

По горизонтальной оси отложим значения AQL и LQ, а по вертикальной оси (1 — ) и . Оперативная характеристика плана приемочного контроля приведена на рис. 13.2.

При построении графика через точки M₁ и M₂ нужно провести расчетную оперативную характеристику, для чего следует совместно решить систему уравнений:

Первое уравнение выражает риск поставщика, второе — риск заказчика.

В системе два уравнения и две неизвестные величины — п и А_с.

Запишем вероятность приема партии F(n;А_с;q=0,02)=0,95 и вероятность ее браковки F(n; A_c; q = 0,05) = 0,05, используя распределение Пуассона:

Рис. 13.2. Оперативная характеристика плана приемочного контроля на основе распределения Пуассона

Прямого решения этой системы нет, так как она трансцендентна, и ее нужно решать либо с помощью компьютера, либо с помощью таблиц функций F(q) =f(q). Учитывая, что

, a=0,05, b=0,05,

и решая систему, получим:

А_с=12 и =7,69.

Из партии необходимо выбирать изделий.

Если среди 400 изделий окажется менее 12 дефектных, то она принимается, если более 12 дефектных, то она бракуется. При этом 5% партий может ошибочно браковаться и столько же может быть принято по ошибке.

Рассмотрим тенденции изменения вида функции F(q) при изменении величин n, А_с:

1. Допустим, что А_с / п = const, но п и А_с увеличиваются (рис. 13.3а). Кривая при этом увеличивает свою крутизну и в пределе, когда п = N, выборочный контроль перейдет в сплошной и AQL = LQ.