Файл: Методические рекомендации и практический материал к теме "Решение задач с параметрами" в контексте программы по математике для 58 классов 45.doc
Добавлен: 09.11.2023
Просмотров: 199
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
твет:
при a<0 корней нет;
при a=0 два корня;
при 0 четыре корня;
при a=2 три корня;
при a>0 два корня.
Решение:
Построим графики функций y=x 1+x 3и y=a.
1.Если a<2, то ломаная и прямая y=aне пересекаются. Уравнение корней не имеет.
2.Если a=2, то ломаная и прямая совпадают при 1 x 3. Уравнение имеет бесконечно много корней.
3.Если a>0, то ломаная и прямая пересекаются в двух точках. Уравнение имеет два корня: 4-2x=aили 2-4x=a;
x =
x =
.
Ответ: при a<2 корней нет;
при a=2, 1 x 3;
при a>2, x1 = ; x2 = .
Рассмотрим более сложный, но доступный восьмикласснику, пример.
Решение:
При x=0 получаем 0+2=a 0+1, т.е. x=0 не является корнем уравнения ни при каких значениях параметра a.
Преобразуем уравнения с учетом, что x 0.
.
Построим графики функций y =
и y=a.
График функции y =
+ 1 гипербола y = , сдвинутая на 1 вверх по 0y.
График функции y=–
1 гипербола y=– , сдвинутая на 1 вниз по 0y.
При различных значениях параметра aграфиками функций y=a являются прямые, параллельные оси абсцисс.
При a1 иa>1 графики имеют одну общую точку пересечения, уравнение имеет один корень;
При 1a<
точек пересечения две, уравнение имеет два корня;
При <a 1 точек пересечения нет, уравнение корней не имеет;
При a=½ один корень.
Ответ: при a1 один корень;
при 1a<½ два корня;
при a=½ один корень;
при <a 1 корней нет;
при a>1 один корень.
Пока мы не формулируем четкий алгоритм применения графического метода, только лишь устно составляем план решения задачи. Рассмотрение же таких задач с восьмиклассниками считаю необходимым, иначе в 10-11 классах при подготовке к экзаменам придется начинать все сначала, значит, теряется драгоценное время, ведь восстанавливать материал гораздо легче, чем изучать заново.
2>0>0>0>
Основная цель: сформировать умение решать элементарные линейные неравенства с параметрами.
В первую очередь расширим определение линейного неравенства.
Каждое из неравенств вида
Ax>B, Ax<B,
, 
,
где Aи B-действительные числа или функции от параметров, а x-неизвестная величина, называется линейным неравенством с одним неизвестным (x).
Рассмотрим простейший пример:
Невнимательный ученик быстро дает ответ x<
. Тогда следует попросить его подставить вместо aразличные значения и проверить, всегда ли совпадает решение с общим видом. Сделав соответствующие замечания, вызвать ученика к доске с просьбой составить блок-схему решения этого неравенства.
Учитель задает по заданию такие вопросы: "Каким будет решение, если вместо числа 1 записать ? вместо знака<записать знак ?" и т.п. Ученики активно анализируют ответы своих одноклассников.
Затем учащиеся получают задание по вариантам составить блок-схемы к решению неравенств Ax>B, Ax<B, AxB, AxB. В тетрадях записываем словесное описание алгоритма.
Алгоритм решения линейных неравенств с параметрами
На примере неравенства Ax>B,где x-неизвестное,
A, B-выражения, зависящие только от параметров)
1. Если A<0, то x 
.
Решением неравенства являются все числа из промежутка ( ).
2.а) Если A=0, B<0
0 x>B, x-любое число.
Решением неравенства является промежуток (
+).
б) Если A=0, B=0
0 x>0, решений нет.
в) Если A=0, B>0
0 x>B, решений нет.
3. Если A>0, то x> .
Решением неравенства является промежуток ( ).
Так как учащиеся еще не знакомы с методом интервалов, то выбор заданий по этой теме весьма ограничен. На этом этапе работы будет достаточно, если школьники усвоят решение простейших ключевых неравенств.
Решение:
1. Если m-1<0, m<1, то x>
.
2 .Если m-1=0, m=1, получим
0 x<5, x-любое число.
3.Если m-1>0, m>1, то x< .
Ответ: при m<1, x> ;
при m=1, x-любое число;
при m>1, x< .
Несущественно, будут ли значения m и x записаны в форме неравенства или промежутка.
2ax-10x a-5,
(2a –10)xa-5,
2(a-5)xa-5.
1.Если 2(a-5) 0, a-5<0, a<5, то x<
; x 
.
2.Если 2(a-5)=0, a-5=0, a=5, то
0 x>0, решений нет.
3.Если 2(a-5)>0, a-5>0, a>5, то x> ; x> .
Ответ: при a<5, x< ;
при a=5, решений нет;
при a>5, x> .
mx+3x 2m+6,
(m+3)x 2(m+3).
1. Если m+3<0, m<3, то x
; x 2.
2. Если m+3=0, m=3, то
0 x 0, x-любое число.
3. Если m+3>0, m>3, то x ; x 2.
Ответ: при m<3, x 2;
при m=3, x-любое число;
при m>3, x 2.
Формальное решение неравенств 17, 18 приводит к распространенной ошибке, которая сводится к делению левой и правой частей неравенства на выражение, содержащее переменную, а это приводит к потере решений и коротким ответам.
Неправильно: x(m+3) 2(m+3), x 2.
Ответ: при a<5, x>
;
при a=5, решений нет;
при a>5, x< .
Когда изучены системы линейных уравнений, можно решить такие задачи.
Системы 23, 24, 25 решаются подстановкой.
Если учащиеся 8 класса научены решать неравенства с модулем, то полезны такие упражнения.
26. Для каждого значения a решите неравенство:
а) x-3
б) x-2 a;
в) x+5>a;
г) 3-2x a.
27. При каких значениях a неравенство справедливо при любом значении x:
а) x>a
б) x+2a-1 0
в) a x-1<0
г) 2 3-5x+2-3a>0
Интересны для учащихся, увлекающихся математикой, нестандартные задачи, решение которых требует хорошего знания теории.
28. При каких a уравнение ax=a2равносильно неравенству x-3 a ?
Решение: Решим уравнение ax=a2.
1.Если a 0, то x=
=a,
уравнение имеет один корень: x=a.
2.Если a=0, то 0 x=0, x-любое число,
уравнение имеет бесконечное множество решений.
Решим неравенство x-3 a.
1.Если a 0, то x-любое число.
2.Если a>0, то x 3-a или x a+3.
Решением неравенства является объединение двух промежутков.
Следовательно, требованию задачи удовлетворяет только a=0.
29.При каких a неравенство 2x+a>0 является следствием неравенства x+1-3a>0 ?
Решение: Решим неравенство 2x+a>0;x>–
, x+1-3a>0, x>3a-1.
По условию, множество решений неравенства x>– должно содержать множество решений неравенства x>3a-1. Это требование выполняется, если – 3a-1, т.е. a 
.
30. При каких a неравенство x>a является следствием неравенства x?
Решение: Решим неравенство x
Если a 0, то решений нет.
Если a>0, то –a
Очевидно, что при a>0 рассматриваемые неравенства не имеют ни одного общего решения.
При a 0 неравенство xне имеет решений, а неравенство x>a, играющее роль неравенства–следствия, имеет решения. Это нас устраивает.
31. При каких значениях параметра a система неравенств
имеет хотя бы одно решение?
Решение:
1.При a>0 данная система равносильна системе
,
Решением системы является интервал (x1; +),где x1-наибольшее их чисел –
и –a.
2.При a=0
.
Решением системы является интервал (0; +).
3.При a<0 система равносильна системе
.
Эта система имеет решение, если –a<– . Решим это неравенство с учетом условия a<0. Получим a2<1, a<1, –1(см. условие).
4.Объединим найденные значения a в каждом из рассмотренных случаев.
В заключение рассмотрим пример решения линейного неравенства при некоторых начальных условиях.
32. При каких значениях k неравенство (k-1)x+2k+1>0 верно при всех значениях x, удовлетворяющих условию x 3 ?
Решение:
Рассмотрим функцию y=(k-1)x+2k+1. Она является линейной при любом действительном значении k, т.е. графиком ее служит прямая.
y
y
y
k
k=
k
3
0
0
0
x
x
x
3
3
3
3
3
Для выполнения неравенства на всем отрезке 3; 3 достаточно выполнения условия y
y (3)=3(k-1)+2k+1=4 k,
y (3)=3(k-1)+2k+1=5k 2.
, 0,4<k<4.
К обязательным результатам по этой теме относится умение решать задачи типа 16, 17, 18, 23, 24, поэтому контролирующие работы составляются с учетом этого требования.
20. Ответ: при a>2.
21. Ответ: при a>2, a 2.
22. Ответ: при a<1.
23. Ответ: при a>3.
24. Ответ: при
a<1.
25. Ответ: при a=2.
26. Ответ:
а) при a>0, 3-a<x<3+a; при a 0 решений нет.
б) при a=0, x=2; при a>0, 2-a x 2+a.
в) при a<0, x-любое число; при a=0, x –5; при a>0, x-a-5 или
x>a-5.
г) при a 0, x-любое число; при a0, x
или x 
.
27. Ответ: a) a<0; б) a ; в) a 0; г) a<
.
28. Ответ: a=0.
29. Ответ: a .
30. Ответ: a 0.
31. Ответ: a>–1
32. Ответ: 0,4
0>0>0>
при a<0 корней нет;
при a=0 два корня;
при 0 четыре корня;
при a=2 три корня;
при a>0 два корня.
-
Решить уравнение x 1+x 3=a.
Решение:
Построим графики функций y=x 1+x 3и y=a.
1.Если a<2, то ломаная и прямая y=aне пересекаются. Уравнение корней не имеет.
2.Если a=2, то ломаная и прямая совпадают при 1 x 3. Уравнение имеет бесконечно много корней.
3.Если a>0, то ломаная и прямая пересекаются в двух точках. Уравнение имеет два корня: 4-2x=aили 2-4x=a;
x =
x = .Ответ: при a<2 корней нет;
при a=2, 1 x 3;
при a>2, x1 =
; x2 = .Рассмотрим более сложный, но доступный восьмикласснику, пример.
-
Сколько решений в зависимости от a имеет уравнение x+2=ax+1?
Решение:
При x=0 получаем 0+2=a 0+1, т.е. x=0 не является корнем уравнения ни при каких значениях параметра a.
Преобразуем уравнения с учетом, что x 0.
.Построим графики функций y =
и y=a. График функции y =
+ 1 гипербола y = , сдвинутая на 1 вверх по 0y.График функции y=–
1 гипербола y=– , сдвинутая на 1 вниз по 0y.При различных значениях параметра aграфиками функций y=a являются прямые, параллельные оси абсцисс.
При a1 иa>1 графики имеют одну общую точку пересечения, уравнение имеет один корень;
При 1a<
точек пересечения две, уравнение имеет два корня;При
<a 1 точек пересечения нет, уравнение корней не имеет;При a=½ один корень.
Ответ: при a1 один корень;
при 1a<½ два корня;
при a=½ один корень;
при
<a 1 корней нет;при a>1 один корень.
Пока мы не формулируем четкий алгоритм применения графического метода, только лишь устно составляем план решения задачи. Рассмотрение же таких задач с восьмиклассниками считаю необходимым, иначе в 10-11 классах при подготовке к экзаменам придется начинать все сначала, значит, теряется драгоценное время, ведь восстанавливать материал гораздо легче, чем изучать заново.2>0>0>0>
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Линейные неравенства с параметрами
Основная цель: сформировать умение решать элементарные линейные неравенства с параметрами.
В первую очередь расширим определение линейного неравенства.
Каждое из неравенств вида
Ax>B, Ax<B,
, ,где Aи B-действительные числа или функции от параметров, а x-неизвестная величина, называется линейным неравенством с одним неизвестным (x).
Рассмотрим простейший пример:
-
Решить неравенство ax<1.
Невнимательный ученик быстро дает ответ x<
. Тогда следует попросить его подставить вместо aразличные значения и проверить, всегда ли совпадает решение с общим видом. Сделав соответствующие замечания, вызвать ученика к доске с просьбой составить блок-схему решения этого неравенства. Учитель задает по заданию такие вопросы: "Каким будет решение, если вместо числа 1 записать ? вместо знака<записать знак ?" и т.п. Ученики активно анализируют ответы своих одноклассников.
Затем учащиеся получают задание по вариантам составить блок-схемы к решению неравенств Ax>B, Ax<B, AxB, AxB. В тетрадях записываем словесное описание алгоритма.
Алгоритм решения линейных неравенств с параметрами
На примере неравенства Ax>B,где x-неизвестное,
A, B-выражения, зависящие только от параметров)
1. Если A<0, то x
.Решением неравенства являются все числа из промежутка (
).2.а) Если A=0, B<0
0 x>B, x-любое число.
Решением неравенства является промежуток (
+).
б) Если A=0, B=0
0 x>0, решений нет.
в) Если A=0, B>0
0 x>B, решений нет.
3. Если A>0, то x>
.Решением неравенства является промежуток (
).Так как учащиеся еще не знакомы с методом интервалов, то выбор заданий по этой теме весьма ограничен. На этом этапе работы будет достаточно, если школьники усвоят решение простейших ключевых неравенств.
-
Решить неравенство (m-1)x<5m.
Решение:
1. Если m-1<0, m<1, то x>
.2 .Если m-1=0, m=1, получим
0 x<5, x-любое число.
3.Если m-1>0, m>1, то x<
. Ответ: при m<1, x>
;при m=1, x-любое число;
при m>1, x<
.Несущественно, будут ли значения m и x записаны в форме неравенства или промежутка.
-
2ax+5a+10x,
2ax-10x a-5,
(2a –10)xa-5,
2(a-5)xa-5.
1.Если 2(a-5) 0, a-5<0, a<5, то x<
; x .2.Если 2(a-5)=0, a-5=0, a=5, то
0 x>0, решений нет.
3.Если 2(a-5)>0, a-5>0, a>5, то x>
; x> .Ответ: при a<5, x<
;при a=5, решений нет;
при a>5, x>
.-
mx-6 2m-3x,
mx+3x 2m+6,
(m+3)x 2(m+3).
1. Если m+3<0, m<3, то x
; x 2.2. Если m+3=0, m=3, то
0 x 0, x-любое число.
3. Если m+3>0, m>3, то x
; x 2.Ответ: при m<3, x 2;
при m=3, x-любое число;
при m>3, x 2.
Формальное решение неравенств 17, 18 приводит к распространенной ошибке, которая сводится к делению левой и правой частей неравенства на выражение, содержащее переменную, а это приводит к потере решений и коротким ответам.
Неправильно: x(m+3) 2(m+3), x 2.
-
5x-a>ax-3.
Ответ: при a<5, x>
;при a=5, решений нет;
при a>5, x<
.Задачи для самостоятельного решения
-
При каких значениях a уравнение 1+3x-ax=2+x имеет отрицательный корень? -
При каких значениях a уравнение a(3x-a)=6x-4 имеет одно положительное решение? -
При каких значениях a уравнение a(x-1)=x-2 имеет решение, удовлетворяющее условию x>1?
Когда изучены системы линейных уравнений, можно решить такие задачи.
-
При каких значениях a система уравнений
, имеет решение x0, y0? -
При каких значениях a система уравнений
, имеет решение x0, y0? -
При каких значениях a система уравнений
, имеет решение x 1, y 4?
Системы 23, 24, 25 решаются подстановкой.
Если учащиеся 8 класса научены решать неравенства с модулем, то полезны такие упражнения.
26. Для каждого значения a решите неравенство:
а) x-3
б) x-2 a;
в) x+5>a;
г) 3-2x a.
27. При каких значениях a неравенство справедливо при любом значении x:
а) x>a
б) x+2a-1 0
в) a x-1<0
г) 2 3-5x+2-3a>0
Интересны для учащихся, увлекающихся математикой, нестандартные задачи, решение которых требует хорошего знания теории.
28. При каких a уравнение ax=a2равносильно неравенству x-3 a ?
Решение: Решим уравнение ax=a2.
1.Если a 0, то x=
=a, уравнение имеет один корень: x=a.
2.Если a=0, то 0 x=0, x-любое число,
уравнение имеет бесконечное множество решений.
Решим неравенство x-3 a.
1.Если a 0, то x-любое число.
2.Если a>0, то x 3-a или x a+3.
Решением неравенства является объединение двух промежутков.
Следовательно, требованию задачи удовлетворяет только a=0.
29.При каких a неравенство 2x+a>0 является следствием неравенства x+1-3a>0 ?
Решение: Решим неравенство 2x+a>0;x>–
, x+1-3a>0, x>3a-1.По условию, множество решений неравенства x>–
должно содержать множество решений неравенства x>3a-1. Это требование выполняется, если – 3a-1, т.е. a .30. При каких a неравенство x>a является следствием неравенства x?
Решение: Решим неравенство x
Если a 0, то решений нет.
Если a>0, то –a
Очевидно, что при a>0 рассматриваемые неравенства не имеют ни одного общего решения.
При a 0 неравенство xне имеет решений, а неравенство x>a, играющее роль неравенства–следствия, имеет решения. Это нас устраивает.
31. При каких значениях параметра a система неравенств
имеет хотя бы одно решение?
Решение:
1.При a>0 данная система равносильна системе
,Решением системы является интервал (x1; +),где x1-наибольшее их чисел –
и –a. 2.При a=0
. Решением системы является интервал (0; +).
3.При a<0 система равносильна системе
.Эта система имеет решение, если –a<–
. Решим это неравенство с учетом условия a<0. Получим a2<1, a<1, –1(см. условие).4.Объединим найденные значения a в каждом из рассмотренных случаев.
В заключение рассмотрим пример решения линейного неравенства при некоторых начальных условиях.
32. При каких значениях k неравенство (k-1)x+2k+1>0 верно при всех значениях x, удовлетворяющих условию x 3 ?
Решение:
Рассмотрим функцию y=(k-1)x+2k+1. Она является линейной при любом действительном значении k, т.е. графиком ее служит прямая.
y
y
y
k
k=
k
3
0
0
0
x
x
x
3
3
3
3
3
Для выполнения неравенства на всем отрезке 3; 3 достаточно выполнения условия y
y (3)=3(k-1)+2k+1=4 k,
y (3)=3(k-1)+2k+1=5k 2.
, 0,4<k<4.К обязательным результатам по этой теме относится умение решать задачи типа 16, 17, 18, 23, 24, поэтому контролирующие работы составляются с учетом этого требования.
Ответы к задачам для самостоятельного решения
20. Ответ: при a>2.
21. Ответ: при a>2, a 2.
22. Ответ: при a<1.
23. Ответ: при a>3.
24. Ответ: при
a<1. 25. Ответ: при a=2.
26. Ответ:
а) при a>0, 3-a<x<3+a; при a 0 решений нет.
б) при a=0, x=2; при a>0, 2-a x 2+a.
в) при a<0, x-любое число; при a=0, x –5; при a>0, x-a-5 или
x>a-5.
г) при a 0, x-любое число; при a0, x
или x .27. Ответ: a) a<0; б) a
; в) a 0; г) a< .28. Ответ: a=0.
29. Ответ: a
.30. Ответ: a 0.
31. Ответ: a>–1
32. Ответ: 0,4
0>0>0>
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11