Файл: Н. Ельцина А. А. Повзнер, А. Г. Андреева, К. А. Шумихина Физика Базовый курс. Часть ii.doc

4. Квантовая оптика

В разделе «Волновая оптика» было наглядно показано, что свет обладает волновыми свойствами. Однако волновые свойства являются проявлением только одной стороны электромагнитного излучения. В этом разделе рассматривается другая, корпускулярная сторона электромагнитного излучения и опытные факты и явления, подтверждающие ее.

4.1. Тепловое излучение

4.1.1. Характеристики, вводимые для описания параметров теплового излучения. Закон Кирхгофа

Под тепловым излучением понимают излучение ЭМВ телами за счет их внутренней энергии U, т.е. за счет теплового движения молекул и атомов. Такое излучение присуще всем телам, так как тепловое движение существует при всех температурах выше абсолютного нуля температур [4].

Тепловое излучение уже рассматривалось в волновой оптике, там оно называлось излучением естественного источника света. Поэтому можно отметить следующие его свойства – оно является немонохроматичным (присутствуют всевозможные частоты в спектре излучения) и неполяризованным.

Кроме того, в отличие от других видов излучения, тепловое излучение является равновесным, т.е. оно может находиться в равновесии с излучающим телом [4]. Это связано с тем, что интенсивность теплового излучения зависит от температуры тела ( ), и поэтому любые отклонения от равновесного состояния между излучающим телом и излучением приводят к тому, что снова восстанавливается положение равновесия.

Действительно, пусть внутри тела имеется полость (см. рис. 4.1), заполненная тепловым излучением. Если, например, температура тела внезапно увеличится, то тогда интенсивность излучения станет больше, что приведет к уменьшению внутренней энегрги тела, которая пропорциональна температуре ( ). Следовательно, температура тела станет меньше, интенсивность излучения понизится и снова н аступит равновесие между телом и излучением в полости [4]: . Равновесность теплового излучения позволяет изучать его закономерности с помощью законов равновесной термодинамики.

Рис. 4.1 Так, законы теплового излучения были установлены применением к этому излучению термодинамического подхода, в котором не рассматривается внутреннее строение систем, а выводы о поведении систем делаются на основе трех законов (начал) термодинамики.

---

Для описания теплового излучения вводятся такие понятия, как энергетическая светимость и спектральная плотность энергетической светимости (испускательная способность)

, , (4.1)

. (4.2)

Как видно из формулы (4.1), энергетическая светимость представляет собой энергию, излучаемую с единицы площади поверхности тела в единицу времени во всем интервале длин волн (или частот).

Спектральная плотность энергетической светимости представляет собой энергию, излучаемую с единицы площади поверхности тела за единицу времени в единичном интервале длин волн.

Формула (4.2) устанавливает связь между энергетической светимостью и спектральной плотности энергетической светимости.

В теоретических и экспериментальных исследованиях наряду с , применяется спектральная плотность энергетической светимости , выраженная через частоту излучения

. (4.3)

Формула связи между ними запишется таким образом:

. (4.4)

При выводе формулы (4.4) было учтено, что для приращения приращение будет меньше нуля ( ).

Для описания способности тел поглощать электромагнитное излучение вводят монохроматический коэффициент поглощения (поглощательную способность) [4]

. (4.5)

Он показывает, какая часть энергии падающего излучения с длинами волн в пределах от до поглощается телом.

Как следует из формул (4.1) и (4.3), энергетическая светимость и испускательная способность являются размерными величинами ([ ] = Вт/ , [ ] = Вт/ , [ ] = Втс/ ), а поглощательная способность – безразмерной величиной. Они зависят от температуры тела ( ) и от длины волны (частоты) излучаемого (поглощаемого) теплового излучения ( , ).

По способности поглощать электромагнитное излучение удобно ввести две модели тел. 1) абсолютно черное тело (а.ч.т.) – тело, которое во всем интервале длин волн поглощает полностью падающее на него излучение (  = 1); 2) абсолютно серое тело (а.с.т.) – тело, для которого поглощательная способность во всем интервале длин волн является постоянной величиной, меньшей единицы ( = const<1) [4].

Поглощательная и испускательная способность любого тела связаны между собой законом Кирхгофа, который был установлен в 1859 г. на основе применения законов термодинамики к тепловому излучению. Закон Кирхгофа относится только к равновесному тепловому излучению.

Согласно закону Кирхгофа отношение испускательной способности тела к его поглощательной способности не зависит от природы тела и является универсальной функцией температуры тела и длины волны, которую называют универсальной функцией Кирхгофа или испускательной способностью абсолютно черного тела

---

, (4.6)

где обозначает испускательную способность абсолютно черного тела.

Из закона Кирхгофа вытекают следующие выводы:

1) если на каком-то интервале длин волн тело сильно излучает, то на этом интервале длин волн оно и сильно поглощает. Действительно, если > , то тогда из закона Кирхгофа (4.6) следует, что = > ;

2) наиболее сильно при данной температуре во всем интервале длин волн излучает абсолютно черное тело. Действительно, из закона (4.6) получим: ≥ , так как ≤1;

3) для установления законов теплового излучения необходимо экспериментальное и теоретическое исследование испускательной способности абсолютно черного тела.

4.1.2. Модель абсолютно черного тела. Экспериментальные законы теплового излучения а.ч.т.

Для экспериментального исследования испускательной способности абсолютно черного тела необходимо смоделировать а.ч.т. на опыте. На первый взгляд это оказывается достаточно сложным делом, так как любое реальное тело не может иметь поглощательную способность, равную единице, во всем интервале длин волн. Даже для черного бархата поглощательная способность отклоняется от единицы за пределами видимого диапазона излучения.

Но оказалось, что моделью а.ч.т. может считаться полость внутри тела, которая имеет малое входное отверстие (рис. 4.2).

Д ействительно, все излучение, попадающее в эту полость, практически не выходит наружу. Это связано с тем, что при многократных отражениях от стенок полости энергия падающего излучения практически полностью поглощается внутри нее. Рис. 4.2

Следовательно, поглощательная способность такой полости во всем интервале длин волн будет равна единице, и тогда выходящее из полости излучение и представляет собой излучение а.ч.т. [4]. Температура этого излучения будет равна температуре тела, внутри которого находится полость.

Такое излучение можно изучить с помощью спектральных приборов (например, дифракционной решетки) и построить график зависимости испускательной способности а.ч.т. от длины волны. Эти графики приведены на рис. 4.3,а.

Как видно из рис.4.3,а, график зависимости от длины волны имеет максимум, зависящий от температуры тела, кривая плавно спадает в области больших длин волн и практически равна нулю в области рентгеновского излучения. С повышением температуры интенсивность излучения возрастает, максимум увеличивается и смещается в область малых длин волн [4].

---

Рис. 4.3

Полученные экспериментально графики для испускательной способности а.ч.т. при разных температурах излучающего тела позволили сформулировать опытные законы теплового излучения. Перечислим их.

1. Закон Стефана-Больцмана. Можно экспериментально показать, что площадь под графиком испускательной способности а.ч.т. прямо пропорциональна четвертой степени температуры а.ч.т. [4]. Учитывая, что согласно формуле (4.2), площадь под графиком определяет энергетическую светимость тела, сформулируем закон Стефана-Больцмана: энергетическая светимость абсолютно черного тела прямо пропорциональна четвертой степени его температуры.

, (4.7)

где 5,67∙10^-8 Вт/(м²K⁴) – постоянная Стефана-Больцмана.

Этот закон был открыт экспериментально Стефаном (1879 г.) и теоретически доказан Л. Больцманом (1884 г.) на основе законов термодинамики.

2. Закон смещения Вина. Он позволяет найти смещение длины волны , соответствующей максимуму испускательной способности а.ч.т., при изменении его температуры. С помощью законов термодинамики и электродинамики Вину (1893 г.) удалось доказать теоретически следующий закон: длина волны , на которую приходится максимум испускательной способности а.ч.т., обратно пропорциональна его абсолютной температуре

, (4.8)

где b= 2,898∙10^-3 м∙К – постоянная Вина.

Закон Вина был подтвержден затем экспериментально.

Законы теплового излучения а.ч.т., полученные экспериментально, а также с помощью термодинамического подхода, поставили задачу теоретического объяснения этих законов и вывода формулы [4], которая дает совпадение с экспериментальной испускательной способностью а.ч.т во всем интервале длин волн. Попытка решения этой задачи в рамках классической физики с помощью статистического подхода была предпринята Релеем и Джинсом.

4.1.3. Формула Релея-Джинса. Ультрафиолетовая катастрофа. Формула Планка

1. Формула Релея-Джинса. Расчет испускательной способности а.ч.т. в рамках классической физики был проведен Релеем и Джинсом. Они рассматривали равновесное излучение черного тела в закрытой полости
(рис. 4.1). Предполагалось, что атомы стенок полости излучают как совокупность линейных гармонических осцилляторов (электрических диполей) со всевозможными частотами. Исходя из этого предположения была получена формула для испускательной способности а.ч.т.

---

= , (4.9)

где - средняя энергия осциллятора.

Затем, предполагая, что атомы излучают волны непрерывно, Релей и Джинс записали для средней энергии одного осциллятора следующую формулу:

, (4.10)

где - постоянная Больцмана, а Т- температура излучающего тела.

Формула (4.10) является следствием принципа равномерного распределения энергии по степеням свободы: на каждую степень свободы любого движения приходится энергия, равная ( ). Отметим, что колебательное движение осцилляторов включает в себя кинетическую и потенциальную энергии, на каждую из которых приходится энергия теплового движения .

В итоге, в рамках классической физики с учетом выражений (4.9) и (4.10) была получена формула Релея-Джинса

. (4.11)

2. Ультрафиолетовая катастрофа. Сопоставление графика испускательной способности а.ч.т., построенного по формуле Релея-Джинса (4.11), с экспериментальной кривой свидетельствует о том, что наблюдается хорошее согласие в области длинноволнового излучения и резкое расхождение в области ультрафиолетового и рентгеновского излучений (см. рис. 4.3б) [4].

Причем расчет энергетической светимости а.ч.т. по формуле Релея-Джинса приводит к бесконечно большой энергии излучения, т.е. нарушается закон сохранения энергии

.

Итак, классическая физика не смогла объяснить зависимости от длины волны спектральной плотности энергетической светимости а.ч.т. во всем интервале длин волн [4]. Сложившееся на тот момент времени состояние в классической физике, когда для теплового излучения наблюдалось резкое расхождение между теорией и экспериментом в ультрафиолетовой области и нарушался закон сохранения энергии, получило название ультрафиолетовой катастрофы.

3. Формула Планка. Впервые правильная формула для испускательной способности а.ч.т. была получена Планком. Ему пришлось высказать чуждое классической физике предположение о том, что атомы излучают электромагнитные волны не непрерывно, а отдельными порциями энергии (квантами). Это означает, что энергии осцилляторов (атомов) квантуются, т.е. принимают дискретный набор значений

, (4.12)

где обозначена минимальная энергия осциллятора, называемая также квантом энергии.

Согласно Планку энергия кванта электромагнитной волны частоты (энергия фотона) определяется формулой

---