Файл: Федеральное агенство по образованию рф казанский государственный энергетический университет.docx

Имеем: D(jω) =1 + j2ω, U(ω) = 1, V(ω) = 2ω, , tg φ = 2ω. Полагая V(ω) = 0, получаем начало годографа: |D(jω)| = 1. В пределах 0  ω∞ угол меняется от φ= 0 до φ= /2, т.е. вектор D(jω) поворачивается против часовой стрелки один раз на π/2. При этом, V(ω) растет, а U(ω) остается равным 1. Годограф получается в виде прямой, параллельной мнимой оси, рис. 5.5.

Рис. 5.5. n = 1

Рис. 5.6. n = 2

П

ример 5.7.

Выяснить устойчивость системы с характеристическим уравнением второй степени

9p² + 4 p + 2 = 0.
Комплексный частотный полином, его действительное и мнимое слагаемые имеют вид:

D(jω) = – 9 ω² + j4ω + 2,

U(ω) = 2 – 9 ω²,

V(ω) = 4 ω .

Полагая V(ω) = 0, находим: первая частота пересечения = 0. Годограф начинается в точке U( ) = 2. Пересечение годографа с мнимой осью задается уравнением U( ) = 0. Находим: вторая частота пересечения = 0,47. Ордината пересечения V( )  1,9. Во втором квадранте, с увеличением частоты, годограф уходит в бесконечность. График показан на рис. 5.6.

Годограф проходит первый квадрант и уходит в бесконечность во втором. Вектор D(jω) поворачивается на угол, равный степени характеристического уравнения, умноженной на /2: Корни действительные, ω₁  ω₂ и требование последовательного возрастания частот пересечения выполняется. Следовательно, система устойчива.
П

ример 5.8.

Разомкнутая система имеет передаточную функцию

.

Выяснить устойчивость замкнутой системы.
Характеристическое уравнение замкнутой системы

---

0,009p³ + 0,02p² +1,1p + 10 = 0.

Комплексный частотный полином, нечетный и четный полиномы:

D(jω) = – j 0,009ω³ – j 1,1ω + 10 – 0,02 ω²,

V(ω) = 1,1ω – 0,009ω³,

U(ω) = 10 – 0,02 ω².

Частоты пересечения:

V(ω) = 0, = 0, = 11,0.

U(ω) = 0, = 22,4.

Требование чередования частот при последовательном возрастании не выполняется:

  .

Следовательно, система неустойчива.

Подтверждение этому получим, вычислив значения угла поворота вектора D(jω) при частотах пересечения с осями. Запишем тангенс аргумента:

.

Вычисляем:ω₁ = 0, tg φ = 0, φ₁ = 0.

ω₂ = 22,4, tg φ = – ∞, φ₂ = – 90.

ω₃ = 11,0 tg φ = 0,00, φ₃ = 0.

Угол φ не возрастает последовательно для каждой частоты пересечения. И не становится равным степени характеристического уравнения, умноженной на /2.

Как выглядит годограф Михайлова, показано на рис. 5.7.
Т аблица данных

ω	U	V
0	10	0
5	9,5	4,4
11	7,6	0
15	5,5	–14
22,4	0	–76

Рис. 5.7. n = 3
Кривая не охватывает начала координат. Система неустойчивая.
П

ример 5.9.

Система с передаточной функцией



замыкается. Будет ли она устойчивой?

Находим передаточную функцию замкнутой системы

.

Записываем характеристический

---

полином замкнутой системы



и соответствующий ему комплексный частотный полином

.

Его действительная и мнимая части:

, .

Определяем частоты пересечения, координаты точек пересечения, углы.
V(ω) = 0. = 0, U( ) = 4, φ( ) = 0.

= , ( ) = –2, φ( ) = 2 (/2).

U(ω) = 0. = , V( ) = , φ( ) = (/2).

ω = ∞ φ (ω) = – 3(/2).

Требование < < выполняется, углы последовательно возрастают, вектор D(jω) делает поворот на 3(/2) радиан.

Вывод: система устойчивая.

5.4. Критерий Найквиста
Критерий Гурвица и критерий Михайлова могут применяться для исследования устойчивости как разомкнутых, так и замкнутых систем, на основе характеристического полинома. Критерий Найквиста применяется для исследования устойчивости замкнутых систем. На основе комплексной частотной характеристики (амплитудно-фазовой частотной характеристики) разомкнутой системы.

КЧХ имеет действительное и мнимое слагаемые:

. (2.9)

Для построения КЧХ задают ω от 0 до ∞ и на комплексной плоскости получают годограф. Вид годографа, его расположение относительно точки – 1 на действительной оси, позволяют судить об устойчивости замкнутой системы.

---

Рассмотрим формулировки критерия Найквиста для трех случаев.

1. Разомкнутая система устойчива. Если годограф устойчивой разомкнутой системы при изменении ω от 0 до ∞ не охватывает точку –1 на оси абсцисс, то замкнутая система будет устойчивой. Охватывает – замкнутая система неустойчивая.

Примеры годографов, соответствующих устойчивой и неустойчивой замкнутой системам, представлены на рис. 5.8 и 5.9.

Рис. 5.8. Устойчивость

Рис. 5.9. Неустойчивость

Во второй формулировке критерия Найквиста используются понятие охвата точки годографом в положительном или отрицательном направлении. Положительным направлением считается такое, при котором конец вектора движется против часовой стрелки. Отрицательным – по часовой стрелке.

2. Разомкнутая система неустойчива. Если годограф неустойчивой разомкнутой системы при изменении ω от 0 до ∞ охватывает точку –1 на оси абсцисс в положительном направлении m/2 раз, где m – число корней характеристического уравнения разомкнутой системы с положительной действительной частью, то замкнутая система будет устойчивой.

Примеры годографов, соответствующих устойчивой и неустойчивой замкнутым системам во втором случае, представлены на рис. 5.10 и 5.11 для m = 2.

Рис. 5.10. Устойчивость (m = 2)

5.11. Неустойчивость (m= 2)

Если разомкнутая система имеет передаточную функцию, содержащую в знаменателе множителем комплексную переменную р,

,

то комплексная частотная характеристика будет иметь неопределенность при ω = 0. Амплитуда становиться бесконечной. Годограф получается с бесконечной ветвью. Но если годограф мысленно дополнить зеркально отраженной ветвью и провести полуокружность бесконечно большого радиуса так, чтобы она пересекала положительную часть оси абсцисс, то такой прием позволяет использовать первую формулировку критерия Найквиста.

3. Разомкнутая система астатическая. Годограф зеркально отражается и кривые «замыкаются» на бесконечности. Тогда, если точка –1 на оси абсцисс оказалась вне замкнутой кривой – замкнутая система устойчивая. Если охватывается кривой – неустойчивая. Примеры таких годографов приведены на рис. 5.12 и 5.13.

---

Рис. 5.12. Устойчивость

Рис. 5.13. Неустойчивость

Замкнутая система будет находиться на границе устойчивости, если годограф разомкнутой системы проходит через точку –1 оси абсцисс. Аналитически это условие можно записать в виде

.

Кривые Найквиста наглядно показывают влияние коэффициента усиления на устойчивость системы. У комплексной частотной характеристики, в которой коэффициент усиления увеличивают, размеры и положение годографа меняются относительно точки с координатами (–1,0). Допустим, имеется кривая 1, отвечающая границе устойчивости, рис.5.14. Предельный коэффициент усиления k= k^. Кривая 2, для которой k  k^, отвечает устойчивой системе, кривая 3, для которойk  k^ - неустойчивой. Увеличение коэффициента усиления вызывает смещение влево точки пересечения кривой 2 с отрицательной частью действительной оси. То есть, может перевести систему из устойчивого состояния в неустойчивое.

Рис. 5.14. Влияние коэффициентов усиления на расположение

кривых Найквиста:

1  k = k^, 2  kk^, 3 – k  k^
Система, имеющая годограф, изображенный на рис. 5.14, с увеличением коэффициента усиления способна реализовать два состояния: «устойчивость – неустойчивость». Для более сложных кривых число состояний может увеличиваться.

Рис. 5.15. В системе возможны два перехода «устойчивость – неустойчивость»

Рис. 5.16. В системе возможны три перехода «устойчивость – неустойчивость»

Например, у кривой с одним максимумом в отрицательной полуплоскости (рис. 5.15) по мере увеличения коэффициента усиления устойчивое состояние сменяется неустойчивым, а затем снова устойчивым. У кривой с двумя максимумами (рис.5.16), при увеличении коэффициента усиления, реализуются состояния: «устойчивость – неустойчивость – устойчивость – неустойчивость». Система может устойчиво работать в двух разных интервалах изменения коэффициента усиления. Это свойство не обнаруживается применением критерия Гурвица или Михайлова.

---