Файл: Федеральное агенство по образованию рф казанский государственный энергетический университет.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.12.2023
Просмотров: 283
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
.
Они могут быть как действительными (4kT < 1), так и комплексными (4kT > 1).
5.2. Критерий Гурвица
.
составляется специальный определитель по следующему правилу.
Намечают n строк и n столбцов (n – степень характеристического уравнения). В первый строке ставят все нечетные коэффициенты:
, 
, 
, . . . По главной диагонали, начиная с коэффициента , слева-вниз-направо располагают последовательно все остальные коэффициенты. Столбцы, начиная с главной диагонали, заполняются вверх по нарастающим индексам, вниз - по убывающим. Все коэффициенты с индексами ниже нуля и выше степени уравнения, заменяют нулями. Получается определитель n-го порядка:
Определитель Δn , а так же определители
, 
, 
, . . . ,
называют определителями Гурвица.
Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы были положительными все коэффициенты и все определители характеристического уравнения системы:
, , 
, …, 
> 0, , 
, 
, …, 
> 0.
Получим условия устойчивости для конкретных уравнений.
1. Характеристическое уравнение 2-й степени:
.
Ему соответствует определитель Гурвица 2-го порядка:
= 
.
Условие устойчивости:
, 
, 
> 0, все коэффициенты должны быть положительными.
2. Характеристическое уравнение 3-й степени:
.
Ему соответствует определитель Гурвица 3-го порядка:
= 
.
Определитель
= 
. Неравенство 
, после сокращения на 
, получает вид 
. То есть, 
. Условиями устойчивости будут: 
, .
3. Характеристическое уравнение 4-й степени:
.
Ему соответствует определитель Гурвица 4-го порядка:
= 
.
Определители второго и третьего порядков имеют вид:
= ,
= 
.
Неравенство
, после сокращения на а4, получает вид 
. То есть,
. Значит, условиями устойчивости будут:
, 
, 
.
4. Характеристическое уравнение 5-й степени:
.
Опуская процедуру вычисления определителя, выпишем сразу условия устойчивости:
,
= 
,
Δ4 =
.
Можно показать, что при соблюдении этих неравенств неравенства > 0 и 
> 0 всегда выполняются. Поэтому их не включают в условия устойчивости системы пятой степени.
Можно составлять определители Гурвица и для характеристических уравнений более высокой степени, получая соответствующие условия устойчивости. Однако, объем вычислений нарастает с увеличением степени характеристического уравнения, поэтому считается приемлемым пользоваться критерием Гурвица для характеристических уравнений степени не выше пятой.
Определитель Гурвица позволяет найти коэффициент усиления на границе устойчивости. Коэффициент усиления – это свободный член характеристического уравнения, его индекс равен степени уравнения. Границей устойчивости будет условие Δn-1 = 0. Откуда и вычисляется коэффициент усиления.
П
ример 5.3.
Дана система, характеристическое уравнение которой имеет вид:
Выяснить, будет ли система устойчивой, если
= 1, 
= 2, 
= 3, k= 19? Каким должен быть коэффициент усиления на границе устойчивости?
Записываем характеристическое уравнение 3-й степени в общем виде, сопоставляем его с заданным и заключаем:
= 
, = + + ,
= + + , =1+k.
Все коэффициенты больше нуля, но надо проверить, будет ли определитель Гурвица больше нуля. Подставив числа в неравенство
, обнаруживаем, что оно не выполняется: 66 - 120 < 0. Определитель оказался отрицательным. Следовательно, система неустойчива.
На границе устойчивости
. Подставляя числа, имеем: 11 · 6 = 6 (1 + k). Коэффициент усиления на границе устойчивости k = 10.
Пример 5.4.
Выяснить, будет ли устойчивой система с характеристическим уравнением
.
Сопоставив данное уравнение с его общим видом
Они могут быть как действительными (4kT < 1), так и комплексными (4kT > 1).
5.2. Критерий Гурвица
Для характеристического уравнения
.составляется специальный определитель по следующему правилу.
Намечают n строк и n столбцов (n – степень характеристического уравнения). В первый строке ставят все нечетные коэффициенты:
, , , . . . По главной диагонали, начиная с коэффициента , слева-вниз-направо располагают последовательно все остальные коэффициенты. Столбцы, начиная с главной диагонали, заполняются вверх по нарастающим индексам, вниз - по убывающим. Все коэффициенты с индексами ниже нуля и выше степени уравнения, заменяют нулями. Получается определитель n-го порядка: Определитель Δn , а так же определители
, , , . . . ,называют определителями Гурвица.
Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы были положительными все коэффициенты и все определители характеристического уравнения системы:
, , , …, > 0, , , , …, > 0.Получим условия устойчивости для конкретных уравнений.
1. Характеристическое уравнение 2-й степени:
.Ему соответствует определитель Гурвица 2-го порядка:
= .Условие устойчивости:
, , > 0, все коэффициенты должны быть положительными.2. Характеристическое уравнение 3-й степени:
.Ему соответствует определитель Гурвица 3-го порядка:
= .Определитель
= . Неравенство , после сокращения на , получает вид . То есть, . Условиями устойчивости будут: , .3. Характеристическое уравнение 4-й степени:
.Ему соответствует определитель Гурвица 4-го порядка:
= .Определители второго и третьего порядков имеют вид:
= , = .Неравенство
, после сокращения на а4, получает вид . То есть,
. Значит, условиями устойчивости будут:
, , .4. Характеристическое уравнение 5-й степени:
.Опуская процедуру вычисления определителя, выпишем сразу условия устойчивости:
, = ,Δ4 =
.Можно показать, что при соблюдении этих неравенств неравенства
> 0 и > 0 всегда выполняются. Поэтому их не включают в условия устойчивости системы пятой степени.Можно составлять определители Гурвица и для характеристических уравнений более высокой степени, получая соответствующие условия устойчивости. Однако, объем вычислений нарастает с увеличением степени характеристического уравнения, поэтому считается приемлемым пользоваться критерием Гурвица для характеристических уравнений степени не выше пятой.
Определитель Гурвица позволяет найти коэффициент усиления на границе устойчивости. Коэффициент усиления – это свободный член характеристического уравнения, его индекс равен степени уравнения. Границей устойчивости будет условие Δn-1 = 0. Откуда и вычисляется коэффициент усиления.
П
ример 5.3.
Дана система, характеристическое уравнение которой имеет вид:
Выяснить, будет ли система устойчивой, если
= 1, = 2,
= 3, k= 19? Каким должен быть коэффициент усиления на границе устойчивости?
Записываем характеристическое уравнение 3-й степени в общем виде, сопоставляем его с заданным и заключаем:
= , = + + , = + + , =1+k.Все коэффициенты больше нуля, но надо проверить, будет ли определитель Гурвица больше нуля. Подставив числа в неравенство
, обнаруживаем, что оно не выполняется: 66 - 120 < 0. Определитель оказался отрицательным. Следовательно, система неустойчива.На границе устойчивости
. Подставляя числа, имеем: 11 · 6 = 6 (1 + k). Коэффициент усиления на границе устойчивости k = 10. Пример 5.4.
Выяснить, будет ли устойчивой система с характеристическим уравнением
.Сопоставив данное уравнение с его общим видом