Файл: Конспект лекций Для студентов специальности 080801. 65 - приклад.doc

Внешняя среда обозначается как узел 0 сети. Если сеть замкнутая, то требования с выхода направляются на вход (рис. 2.3, пунктирная линия) и количество требований N в сети не изменяется.

Для потоков требований в сети справедливы законы о суммарных потоках, которые показаны на рис. 2.4, 2.5, при условии, что сеть работает в установившемся режиме.

Для расчетов сетей массового обслуживания используется теория вероятностных сетей, которая основывается на марковских и полумарковских процессах [8], но большинство результатов получено только для экспоненциальных законов распределения. При количестве узлов сети больше трех для расчетов используются численные приближенные методы. Операционный анализ [9] в отличие от теории массового обслуживания опирается на логику работы рассматриваемой или моделируемой системы. Это позволяет установить простые зависимости между параметрами и показателями работы системы, не абстрагируясь от процессов ее функционирования.

2.2. Операционный анализ вероятностных сетей

Операционный анализ вероятностных сетей базируется на следующих принципах:

- все предположения относительно операционных переменных можно проверить измерениями на реальной системе или на ее модели;

- в системе должен существовать баланс потоков: количество требований, которые покинули систему за некоторый период наблюдения, должно равняться количеству требований, которые поступили в систему за этот же период;

- переходы требований от одного узла к другому не должны зависеть от длин очередей в узлах.

Таким образом, рассматриваемая система должна работать в установившемся, а не в переходном режиме.

Основная задача операционного анализа вероятностных сетей состоит в определении таких показателей, как среднее время пребывания требований в отдельных узлах сети, загрузка устройств в узлах, средние длины очередей к узлам и т.п.

Большинство результатов операционного анализа касается замкнутых сетей, когда требования, которые покидают сеть, снова возвращаются в нее. Замкнутые сети можно использовать, когда рассматриваемая система работает с перегрузкой. В этом случае можно считать, что вместо требования, которое покинуло систему, в систему поступает другое требование с такими же параметрами.

Введем операционные переменные, которые можно получить или измерениями, или в процессе имитационного моделирования системы:

q₀_j(j=1,k)- вероятность (частота) поступления требований в сеть извне к любому узлу (К- общее количество узлов);

q_kj (j = 1,к)- вероятность перехода требований из узла k к узлу j (k = 1,K, J=1,K);

q_k₀ - вероятность того, что после окончания обслуживания в узле k требования покинут сеть; A_k (k =1,К} - количество требований, которые поступили в узел k;

C_kj (k = 1,К, j =1,K) - количество требований, которые покинули узел k и поступили в узел j;

B_k(k=1,K) - общее время обслуживания требований узлом k.

Т - общее время наблюдения за системой или время моделирования.

Внешнюю среду обозначим как вершину с номером 0. Тогда A₀_j,C_k₀ будут приобретать значения количества требований, которые поступили в узел j, и требований, которые покинули узел k, соответственно.

Узел считается занятым, если в нем есть хотя бы одно требование. Введем дополнительные обозначения:

Для замкнутой сети А ₀= С₀.

Введенные переменные называются основными операционными переменными. Используя эти переменные и выполняя простейшие операции над ними, получают выводимые операционные переменные. Наиболее часто используют такие:

где U_k- коэффициент использования узла;

где S_k- среднее время обслуживания в узле k;

где X_k - интенсивность выходящего потока требований из узла k;

где q_kj - относительная частота перехода требований между узлами k и j.

Используя выражения (2.2 - 2.4), имеем:

2.3. Операционные зависимости

Основные результаты операционного анализа формулируются в I виде соотношений между операционными переменными. Основой этих соотношений является гипотеза о балансе потоков в сети: количество требований, которые поступили в некоторый узел на протяжении продолжительного периода Т, равняется количеству требований, которые покинули этот узел. Эта гипотеза определяет работу сети СМО в установившемся режиме, то есть требования всегда покидают узлы сети.

Гипотеза о балансе позволяет установить зависимости между операционными переменными для каждого узла сети. Эта гипотеза позволяет записать уравнения баланса потоков:

Справедливость выражения (2.7) вытекает из предположения о балансе

Поделив последнее соотношение (левую и праву его части) на общее время наблюдения Т, получим выражение (2.7). Уравнения (2.7) будут иметь единственное решение для замкнутой сети при заданном X₀. Для разомкнутой сети уравнения (2.7) будут линейно зависимыми, однако, и в этом случае они имеют полезную информацию о динамике потоков сети.

Найдем из выражения (2.6) производительность узла

Определим коэффициент посещаемости узла k

Уравнение баланса потока можно представить в эквивалентной системе, в которой вместо интенсивности потоков используются коэффициенты посещаемости каждого узла сети.

Поделим левую и правую части выражения (2.7) на Х₀:

Выражения (2.10) справедливы, если справедливы уравнения (2.7), поскольку (2.10) получены из (2.7).

Связь коэффициентов посещаемости и производительности узла определяем по формуле

Для определения среднего времени пребывания требования в вероятностной сети обозначим это время через R, а для отдельных узлов - через R_k. Введем еще одну операционную переменную - W_k, которая равняется суммарному времени ожидания и времени обслуживания требования узлом k на протяжении времени Т:

Среднее время пребывания в системе можно найти через R_k и коэффициенты посещаемости отдельных узлов, то есть

Это общий закон времени пребывания, который справедлив и в том случае, если гипотеза о балансе потоков не выполняется.

Среднее количество требований в сети N, которое определяется через среднее количество требований в каждом узле n_k, равно

где n_k - выводимая операционная переменная, которую можно получить из основных операционных переменных:

Для среднего времени пребывания требований в сети справедлив закон Литтла: среднее время пребывания в устройстве k определяется через среднее количество требований в устройстве и интенсивность потока

Обосновать формулу Литтла можно с помощью операционного анализа. Из выражения (2.15) находим:

Подставляем полученную операционную переменную в уравнение (2.12):

Закон Литтла справедлив также для всей сети в целом. Подставим выражение для V_k из уравнения (2.9) в (2.13) и выражение для R_kиз (2.16), тогда

Покажем, как можно использовать операционный анализ для определения времени пребывания в замкнутой сети (рис. 2.6).

Пусть есть М устройств, время обслуживания требования любым из них - Z. Среднее время пребывания требования в сети определяем по формуле

Выражение (2.20) получено из таких соображений. Среднее время одного цикла взаимодействия, включая время обслуживания требования во внешней сети и пребывание в одном из М устройств, определяется суммой Z + R. Если предположить, что выполняется гипотеза о балансе потоков, то для рассматриваемого цикла справедлива формула Литтла. Поэтому величина (Z + R)X₀ должна определять среднее количество занятых устройств или среднее количество работающих устройств для системы с отказами. Таким образом, общее количество устройств

Смотрите также файлы

Методические указания по выполнению курсовой работы Проектир.doc

Методичка-ЛАБЫ по Поектированию ИС.doc

Вопрос 42.doc

Вопрос 38 39 40.doc

Вопрос 25.doc

Файл: Конспект лекций Для студентов специальности 080801. 65 - приклад.doc

2.2. Операционный анализ вероятностных сетей

2.3. Операционные зависимости

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно