Файл: Тесты с ответами по естествознанию.doc

Предугадывание структуры отражаемого мира — его природы, его закономерностей, является характерной чертой процесса познания не только при исследовании внешнего, по отношению к нам, реального мира, но и при исследовании математической реальности. Разница лишь в том, что объективная физическая реальность существует сама по себе и в процессе познания предугадывается схема, моделирующая эту реальность; математическая же реальность заранее не существует — она создается человеческим разумом. Этот процесс, конечно, не может быть абсолютно независимым от реальной действительности. Он направляется и регулируется такими факторами, как прошлый опыт и требование разумности, целесообразности и непротиворечивости создаваемых конструкций. Но сами создаваемые конструкции в большинстве случаев не имеют непосредственных прообразов в реальном мире, а являются результатом творческой деятельности нашего разума. Примерами таких абстрактных построений могут служить бесконечные множества, всевозможные трансфинитные объекты, четырехмерные и даже бесконечномерные пространства и тому подобное.

В течение двух тысячелетий считалось, что геометрия Евклида является геометрией реального пространства. Поэтому мысль о какой-то другой геометрии не могла даже возникнуть. Камнем преткновения, как мы уже отмечали в главе 3, был только пятый постулат Евклида, который утверждал, что через точку, расположенную вне прямой, можно провести одну-единственную прямую, параллельную данной прямой.

Нам известно, что только в XIX в. три математика (Лобачевский, Больяи и Гаусс) почти одновременно пришли к мысли, что существует какая-то новая геометрия, в которой выполняется утверждение, противоположное пятому постулату. В этой геометрии должны были иметь место и совершенно новые закономерности, существенно отличающиеся от того, что установлено в геометрии Евклида.

Проанализируем в связи с этим понятие математической истины. Вообще истина — адекватное отражение в сознании человека явлений и процессов реальной действительности. Каждая мысль, адекватная отображаемому явлению, объекту и пр., выражает некоторую истину.

Математическая реальность — это воображаемый мир, созданный нашей интуицией, это мир, который реально не существует, или, как теперь принято говорить, существует виртуально.

Существование предметов из реальной действительности является объективным фактом, который может быть подтвержден соответствующим опытом, а существование идеальных предметов, созданных нашим воображением, является всего-навсего естественнонаучной гипотезой.

Природа абстрактных идеальных предметов такова, что они непосредственно не могут быть сопоставлены с какими-либо материальными объектами. Поэтому вопрос о соответствии математического образа чему-то, что на самом деле имеет место, не может быть поставлен, а значит, теряет смысл и обычное понятие истинности. Понятие математической истины должно быть определено как-то по-другому. Это определение сделал в 1931 г. математик и логик Альфред Тарский (1901-1983). Он обобщил понятие истины следующим образом: если в естественном языке истина означает соответствие реальной действительности, то в искусственных логико-математических языках истину следует понимать как выполнимость в соответствующей модели.

Вопрос об истинности математических утверждений свелся к вопросу о непротиворечивости соответствующей теории. Непротиворечивость математических теорий не может быть решена средствами самой этой теории (это следует из второй теоремы Геделя о неполноте арифметической системы). Поэтому непротиворечивость самой арифметики, как одной из математических дисциплин, может быть доказана только с привлечением каких-либо новых, более сильных математических средств, не содержащих в языке арифметики.

Как же обосновать истинность математических утверждений? Выход может быть один. Вместо попыток формального доказательства непротиворечивости математических теорий (как основы истинности этих теорий) должны быть найдены косвенные доводы, подтверждающие нашу веру в непротиворечивость и истинность теорий.

К этим доводам относятся:

1. Интуитивная ясность, убедительность, простота и изящество математических построений.

2. Возможность эффективного использования теории в практических приложениях (как в естественных науках, так и в самой математике).

Проблема природы математической истины и проблема непротиворечивости свелись, таким образом, к проблеме обоснования объективности математического знания. Дело свелось к практике, так как критерием объективности— критерием истинности математических утверждений в этом, более общем смысле, является общественная практика. Но практика является также и критерием полезности научного знания.

В самом деле, так как в математических теориях используются весьма абстрактные понятия, не имеющие никаких конкретных прообразов в реальном мире, то роль практики как критерия истины, как соответствия действительности, весьма незначительна. В этом случае практика принимается, прежде всего, как критерий полезности этих теорий — она становится критерием их эффективности, действенности, результативности.

К пониманию того, что этот критерий фактически устанавливает не столько истинность математических теорий, сколько их полезность, как орудий познания, пришли многие математики. Хаскелл Карри, например, в 1963 году писал: «До какой степени абсолютная надежность присуща математике? Поиск абсолютной надежности был основной мотивировкой для концепции Брауэра (основатель в математике интуиционизма. — Авт.) и Гильберта. Но нужна ли математике для своего оправдания абсолютная надежность? Зачем, скажем, нам так уж нужно быть уверенным в непротиворечивости теорий? Ведь ни к какой другой науке мы не предъявляем таких требований. В физике, например, теории всегда гипотетичны; мы принимаем теорию, коль скоро на ее основе можно сделать полезные предсказания, и видоизменяем или опровергаем ее, коль скоро этого сделать нельзя. Именно так происходит и с математическими теориями. Мы принимаем теорию, коль скоро она нам полезна, удовлетворяет некоторым условиям естественности и простоты, разумным для своего времени, и коль скоро известно, что эта теория не введет нас в заблуждение. Мы должны держать наши теории под постоянным наблюдением, чтобы видеть, что эти условия выполнены. Поскольку же оценка полезности теории зависит от ее назначения, можно для различных целей принимать по-разному построенные теории, так что интуиционистская и классическая математики могут существовать».

Об этом же в 1970 году писал русский математик, академик Александр Александров (1912-1999), который указывал, что «...математика сама по себе не может быть ни истинной, ни ложной. Математические теории — это орудия познания, и спрашивать об их истинности бессмысленно, как об истинности трактора».

Эффективность, а не истинность — вот что нужно человеку от математических теорий. Что же касается веры в особую достоверность математического знания, веры в истинность математических теорий, то это всего лишь иллюзия, порожденная, с одной стороны, эффективностью математического знания в приложениях, а с другой -интуитивным ощущением, что эти теории правильные.

Какую бы математическую теорию мы ни рассматривали, необходимое условие ее истинности, полезности, как орудия познания, заключается в том, чтобы эта теория была непротиворечива. Доказать непротиворечивость нельзя, но получить косвенные доводы, подкрепляющие нашу веру в непротиворечивость теории, — это дело вполне реальное, и достигается оно посредством практики, понимаемой в самом широком смысле этого слова. Причина непротиворечивости арифметики лежит вне математики, в самой математике эта непротиворечивость остается тайной.

Обобщая, можно отметить, что взгляды на математику характеризуются следующими установками, идеями, принципами:

1. Развитие математики невозможно без исследования математикой самой себя.

2. Одним из важных аспектов математических исследований является вопрос о границах вычислительных и конструктивных возможностей логико-математических языков.

3. Математика по своей природе является псевдоэмпирической наукой. Математическая реальность не существует априорно, а создается интуицией.

4. Практическое значение математических теорий состоит в том, что они являются орудиями познания и с успехом используются в прикладных науках. Именно поэтому математику часто называют языком естествознания. Но сама математическая реальность — это результат чрезвычайно абстрактных умозрительных построений, весьма далеких от действительности. Познание объективной реальности идет через абстрактное к конкретному. Поэтому возникновение умозрительных построений — не случайность, а вполне закономерная особенность процесса познания. Познание — это отражение действительности с помощью предугаданной абстрактной схемы.

5. Философским и методологическим фундаментом современной математики может быть только теория по знания (гносеология). Только с позиции этой теории может быть осуществлен действительно объективный и подлинно научный анализ природы математики и математической истины.

13.3. Непостижимая эффективность математики

Нельзя не признать, что полного соответствия между математикой и физической реальностью не существует. Однако немалые успехи математики в описании физически реальных явлений — будь то электромагнитные волны, эффекты, предсказанные теорией относительности, математическая интерпретация того немногого, что доступно наблюдению на атомном уровне, и даже в свое время ньютоновская теория тяготения, — все требует какого-то объяснения.

Согласуется ли природа с человеческой логикой? Почему математика эффективна и при описании тех физических явлений, которые непонятны для нас? Полностью разделяя убежденность древних греков в том, что мир основан на математических принципах и соглашаясь со средневековыми представлениями о том, что мир был создан на математических принципах не кем иным, как самим Богом, становится понятным, что во все времена люди видели в математике путь к познанию истин о природе. Гармония мира у средневековых мыслителей была проявлением математической структуры, которой Бог наделил мир при сотворении.

Из философов, убежденных в том, что математика — верный путь к реальности, наиболее влиятельным был французский физик, математик, философ Рене Декарт. Декарт задумался над тем, почему следует верить, что математические конструкции, созданные человеческим разумом, открывают путь к познанию физического мира. Из математических истин, постигаемых разумом независимо от опыта, мы можем с помощью чисто умозрительных рассуждений выводить истины о физическом мире.

Великий немецкий астроном Кеплер также усматривал реальность мира в описывающих его математических соотношениях. Познаваемы лишь те свойства физического мира, которые могут быть выражены с помощью математических понятий и формул. Вселенная математична по своей структуре, и природа действует согласно незыблемым и неизменным законам.

Ньютон также считал, что Бог сотворил мир на основе математических принципов. Суть того, во что непоколебимо верили Декарт, Кеплер, Галилей, Ньютон, Лейбниц и многие другие основатели современной математики и физики, сводится к следующему: природе внутренне присуща некая скрытая гармония, которая отражается в наших умах в виде простых математических законов. Именно в силу этой гармонии наблюдение в сочетании с математическим анализом позволяет предсказывать явления природы.

Убеждение в том, что природа основана на математических принципах, в XVTI-XIX веках было прочно, как никогда. Задача математиков состояла в том, чтобы открывать эти принципы и познавать законы, управляющие Вселенной, и сама математика считалась инструментом, как нельзя лучше приспособленным для решения этой задачи.

Развитие нескольких вариантов неевклидовых геометрий Лобачевским, Больяи, Гауссом и Риманом показало, что созданная человеком математика ничего не говорит о природе и имеет мало общего с доказательством существования Бога. Вполне возможно, что в природе не заложено никаких математических принципов. По-видимому, вернее будет сказать, что математика предлагает нам не более чем ограниченный, вполне осуществимый, рациональный план.

Математика была и остается превосходным методом исследования, открытия и описания физических явлений. Даже если математические структуры сами по себе не отражают реальности физического мира, их, тем не менее, можно (пока) считать единственным ключом к познанию реальности. Неевклидова геометрия не только не уменьшила ценности математики, но, напротив, способствовала расширению ее приложений. Роль математики в «упорядочении» окружающего мира и овладении природой, начиная с 60-х годов XIX века, возрастала невероятно быстрыми темпами.

Мы сталкиваемся здесь с явно парадоксальной ситуацией. Область знания, не претендующая более на роль носителя истины, подарила нам прекрасно согласующуюся с повседневным опытом евклидовую геометрию, необычайно точную гелиоцентрическую теорию Коперника и Кеплера, величественную и всеохватывающую механику Галилея, Ньютона, Эйлера, Лагранжа, Гамильтона и Лапласа, физически необъяснимую, но имеющую весьма широкую сферу приложений теорию электромагнетизма Максвелла, теорию относительности Эйнштейна. Все эти блестящие достижения опираются на математические идеи и рассуждения.

В этой связи возникает вопрос, который волновал исследователей всех времен, которым задался также Эйнштейн: почему возможно такое превосходное соответствие математики с реальными предметами (реальным миром), если сама она является произведением только человеческой мысли, не связанной ни с каким опытом? Может ли человеческий разум без всякого опыта, путем одного только размышления, понять свойства реальных вещей?

Эйнштейн осознавал, что аксиомы математики и принципы логики выведены из опыта, но его интересовало, почему следствия, вытекающие из созданных человеком аксиом и принципов, так хорошо согласуются с опытом.

Подобным образом действуют и создатели современных математических моделей. Берется одна из возможных моделей и сверяется с опытом. Если модель оказывается неадекватной, то в нее вносят надлежащие изменения. Тем не менее, возможность вывести из одной модели сотни теорем, хорошо согласующихся с опытом, заставляет задавать себе вопрос о соответствии мысли и мира, ответить на который не так-то легко.

Сейчас часто предлагается и совершенно другое объяснение «эффективности» математики. Оно восходит к великому немецкому философу и космологу Иммануилу Канту. Кант утверждал, что мы не знаем и не можем знать природу. Мы ограничены чувственными восприятиями, но наш разум, наделенный предустановленными структурами пространства и времени, организует эти чувственные восприятия в соответствии с тем, что диктуют присущие ему врожденные структуры. Например, наши пространственные восприятия мы организуем в соответствии с законами евклидовой геометрии потому, что этого требует наш разум. Будучи организованными таким образом, пространственные восприятия и в дальнейшем подчиняются законам евклидовой геометрии.

Великий французский математик, физик и философ Анри Пуанкаре (1854-1912) предложил еще одно объяснение, в значительной мере выдержанное в духе Канта, хотя уже давно взгляды Пуанкаре получили название «конвенционализм» (соглашение). Пуанкаре утверждал следующее: «Опыт играет необходимую роль в происхождении геометрии; но было бы ошибкой заключить, что геометрия — хотя бы отчасти — является экспериментальной наукой. Если бы она была экспериментальной наукой, она имела бы только временное, приближенное — весьма грубо приближенное — значение. Она была бы только наукой о движении твердых тел. Но на самом деле она не занимается реальными твердыми телами; она имеет своим предметом некие идеальные тела, абсолютно неизменные, которые являются только упрощенным и очень отдаленным отображением реальных тел».