Файл: Учебное пособие по статистике.doc

Чем больше показатель степени средней в формуле степенной средней, тем больше величина средней. Это правило называется правилом мажорантности средних.

>.>>

х	х²	1/х
3	9	1/3
6	36	1/6

Пример:

= 2 : (1/3 +1/6) =12:3= 4; .= ( 3+6):2 = 4,5,

. = √3*6 = 4,26 . = √(9 +36) :2 = 4,75;

4,75 > 4,5 > 4,26 > 4

2.2.4. Структурные средние (мода и медиана)

К структурным характеристикам распределения варьирующего признака относят квантили распределения и моду.

Виды квантилей:

медиана (Ме) – это вариант, делящий совокупность пополам, т.е. серединная варианта, (верх и вниз находится одинаковое количество единиц совокупности).

квартили – значения, делящие совокупность на 4 равные части;

квинтили – значения, делящие совокупность на 5 равных частей;

децили- значения, делящие совокупность на 10 равных частей.

мода – это вариант, который чаще всего встречается в совокупности.

В вариационном ряду это будет варианта, имеющая наибольшую частоту.

Мода и медиана в дискретном ряду

Пример. Имеются следующие данные, приведенные в табл.2.8.

Таблица 2.8.

Распределение семей по числу детей

Группа семей по числу детей	Число семей	Накопленные частоты
0	10	10
1	30	40
2 Мода	75	115
3	45	160
4	20	180
5	15	195
6	6	201
Итого:	201	-

Мода - это семья, имеющая двоих детей, т.к. этому значению варианты соответствует наибольшее число семей.

Для определения медианы необходимо вначале определить номер медианы: по формуле: N=( f+1) : 2. (2.11)

Так, в распределении 201 семьи по числу детей медианой будет: (201+1)/2 = 101, т.е. 101-я варианта, которая делит ряд пополам. Чтобы вычислить значение 101 варианты, нужно накапливать частоты, начиная с наименьшей варианты. 101 варианта соответствует третьему значению варьирующего признака, и медианой будет семья, имеющая двоих детей. В этом примере медиана и мода совпали.

Если распределения, где все варианты встречаются одинаково часто, в этом случае моды нет или все варианты одинаково модальны. Если две варианты могут иметь наибольшие частоты, тогда будут две моды, распределение будет бимодальным.

Мода и медиана в интервальном вариационном ряду

Мода и медиана всегда соответствуют определенной варианте.

М_о= Х _Мо+ i_Мо*[(f_Мо- f _{Мо -1}) : {(f_Мо- f _{Мо -1}) + (f_Мо- f _Мо+1)}] (2.12) где, Х _Мо- минимальная граница модального интервала;

i_Мо- величина модального интервала;

f_Мо- частота модального интервала;

f_Мо-1- частота интервала, предшествующего модальному;

f _Мо+1- частота интервала, следующего за модальным.

Ме = Х _Ме+ i_Ме* [(1/2∑ f - S_Ме-1) : f_Ме] (2.13)

где, Х _Ме- нижняя граница медианного интервала;

i_Ме- величина медианного интервала;

f_Ме- частота медианного интервала;

S_Ме-1- сумма накопленных частот, предшествующих медианному; f - сумма частот.

Пример. Имеются следующие данные, приведенные в табл.2.9.

Таблица 2.9.

Распределение рабочих по заработной плате

Группа рабочих по размеру месячной з/платы руб.	Число рабочих	Кумулятивные частоты
2000-3000	15	15
3000-4000	35	50
4000-5000	75	125
5000-6000	40	165
6000-7000	25	190
Свыше 7000	10	200
Итого	200	-

Определить среднюю заработную плату, моду, медиану заработной платы рабочих.

Решение: 1. Сначала определим середину каждого интервала, т.е. (2000 + 3000):2 = 2500 и т.д.

Средняя месячная заработная плата рабочих определяется по формуле средней арифметической взвешенной:

=(2500*15+3500*35+4500*75+5500*40+6500*25+7500*10)/

(15+35+75+40+25+10) = 955000 / 200 = 4775 руб.

3. Мо= 4000+1000*[(75-35)/{(75-35)+(75-40)}] = 4000+ 1000*(40/75)= 4533 руб.- наиболее часто встречающаяся величина средней месячной заработной платы.

4. Ме = 4000 + 1000*[(1/2*200 -50)/75] = 4667 руб.

Следовательно, половина рабочих имеет заработную плату меньше 4667 руб., а половина – больше этой суммы.

Моду и медиану можно определить на основе графического изображения ряда. Мода определяется по гистограмме распределения. Медиана определяется по кумуляте.

В симметричных рядах распределения значения моды и медианы совпадают со средней величиной = Ме = М_о,а в умеренно асимметричных они соотносятся таким образом: 3 ( - Ме) = - М_о

Тесты и задания для самопроверки:

Обобщающие абсолютные величины характеризуют:

а) отдельные единицы совокупности; б) определенные части совокупности; в) всю совокупность в целом.

2. Если коэффициент перевода меньше единицы, то какой из показателей больше: а) натуральный; б) условно-натуральный.

3. Отношения частей изучаемой совокупности к одной из них, принятой за базу сравнения, называются относительными величинами: а) планового задания; б) выполнения плана; в) динамики; г) структуры; д) координации; е) сравнения; ж) интенсивности.

4. К какому виду относительных величин относится показатель уровня ВВП РФ на душу населения?

а) динамики; б) планового задания; в) выполнения плана; г) структуры; д) координации; е) интенсивности; ж) сравнения.

5. Сумма относительных величин структуры, выраженных в % и рассчитанных по одной совокупности, должна быть:

а) меньше 100; б) больше 100; в) равна 100.

6. В 3 квартале товарооборот фирмы составил 300 млн.руб., а 4 квартале – 400 млн.руб. при плане 360 млн.руб. Определите относительный показатель выполнения плана товарооборота (ОПВП) фирмой в 4 квартале: а) 90%; б) 111,1%; в) 83,3%.

7. Планом на 2006г. предусмотрен рост товарооборота магазина на 5%. Фактически в отчетном периоде он увеличился на 8% по сравнению с 2005 г. Определите относительный показатель выполнения плана товарооборота: а) 102,9%; б) 97.2%

8. Средняя величина может быть вычислена для: а) количественного признака; б) атрибутивного признака; в) альтернативного признака.

9. Выбор вида средней зависит от: а) характера исходных данных; б) степени вариации признака; в) единиц измерения показателя.

10. Укажите виды степенной средней: а) средняя гармоническая;

б) средняя геометрическая; в) мода; г) средняя арифметическая;

д) средняя квадратическая; е) медиана.

11. Назовите структурные средние: а)средняя гармоническая;

б) средняя геометрическая; в) мода; г) средняя арифметическая;

д) средняя квадратическая; е) медиана.

12. Отметьте случай, когда взвешенные и не взвешенные средние совпадают по величине: а) при равенстве весов; б) при отсутствии весов.

13. Если вычислять средние по одному и тому же набору исходных данных, то наибольший результат будет: а)при использовании средней арифметической ; б) при использовании средней квадратической.

14. Возраст одинаковых по численности групп лиц составил (лет): 20,30 и 40. Средний возраст всех лиц будет:

а) менее 30 лет; б) равен 30 годам; в) более 30 лет.

15. Если сведения о заработной плате рабочих по двум цехам представлены уровнями заработков и фондами заработной платы, то средний уровень зарплаты следует определять по формуле:

а) средней арифметической простой; б) средней гармонической простой; в) средней гармонической взвешенной.

16. Установлено, что средняя величина изучаемого признака должна вычисляться средней гармонической простой. Значения признака следующие: 10,20,30. Найденная средняя будет:

а) равна 20; б) более 20; в) менее 20.

17. Если веса увеличить на постоянную величину А, то средняя величина: а) изменится; б) не изменится.