Файл: Статистика предприятия Часть I курс лекций.docx

Коэффициент Фехнера основан на методе параллельных рядов. Суть его в том, что сравниваются знаки отклонений значений признака от их средних арифметических.

1 Находим средние арифметические

2 Рассмотрим совпадение и несовпадение знаков отклонений.

Совпадение знаков (С) означает согласованную вариацию, а несовпадение (Н)- нарушение этой согласованности.

С=21,

Н=4.

Коэффициент Фехнера вычисляется по формуле

Принимает значения от –1до +1.

Вычисляем:

Связь прямая и заметно согласованная.

Коэффициент Фехнера примитивен, т.к. улавливает только направление связи и не учитывает ее величину.

10.3.3 Коэффициент корреляции рангов

Коэффициент корреляции рангов – это более точный коэффициент определения тесноты связи между количественными признаками. С помощью этого коэффициента можно определить не только силу, но и направление связи:

где d – разность рангов,

n – число единиц совокупности.

Коэффициент принимает значения от –1 до +1.

Знак “ – ” означает, что связь обратная, “ + ” − связь прямая

Ранг – это порядковый номер или место, которое присваивается каждому значению факторного и результативного признака.

Присвоим ранги каждому значению X и Y (см. пример, графы 6, 7). Затем вычислим разность рангов (графа 8) и возведем ее в квадрат (графа 9). Теперь вычисляем коэффициент корреляции рангов:

Следовательно, связь между признаками прямая и тесная.

10.3.4 Метод аналитических группировок

Значительно более отчетливо будут проявляться корреляционные зависимости, если мы применим метод группировок и будем сравнивать не индивидуальные данные, а групповые средние.

Группировка производится по факторному признаку, и для каждой группы вычисляется среднее значение результативного признака. Этот способ является единственно возможным, если нужно выявить зависимость на примере сотен и тысяч единиц.

Аналитические группировки позволяют выявить наличие связи и ее направление, а также измерить тесноту связи.

Для этого используются следующие показатели:

1 коэффициент детерминации;

2 эмпирическое корреляционное отношение.

10.4 Метод корреляционно-регрессионного анализа. Корреляционное отношение и коэффициент корреляции

При исследовании корреляционных зависимостей решению подлежит широкий круг вопросов:

1 предварительный анализ свойств моделируемой совокупности;

2 установление факта наличия связи, определение ее направления и формы;

3 измерение степени тесноты связи между признаками;

4 построение регрессионной модели, т.е. нахождение аналитического выражения связи;

5 установление адекватности (соответствия) модели экспериментальным данным.

Для того, чтобы результаты корреляционного анализа нашли практическое применение и дали хороший результат, необходимо, чтобы выполнялись определенные требования в отношении объекта исследования и признаков-факторов. Требования к объекту исследования:

1 Однородность изучаемых единиц при корреляционном анализе.

Например, определение зависимости тех или иных технико-экономических показателей работы предприятия от определенных факторов.

Должны быть отобраны предприятия, выпускающие однотипную продукцию, имеющие одинаковый характер технологического процесса, тип используемого оборудования и т.п. Необходима также и количественная оценка однородности. Это можно сделать с помощью коэффициента вариации:

%, %.

2 Достаточное число наблюдений.

Требования в отношении признаков-факторов:

– выбирать наиболее важные из них.

Для этого следует провести качественный и количественный анализ с использованием, например, парного коэффициента корреляции, ранговых коэффициентов и т.п.;

факторы должны быть независимы друг от друга;
исключаются факторы, функционально связанные с результативным признаком;
факторы должны иметь количественное выражение.

Кроме ранее разобранных методов для определения наличия и вида связи, можно использовать графический метод. По данным значениям факторного и результативного признака строят так называемое поле корреляций (это точечный график).

Соединив точки отрезками прямой получим линию, которая называется эмпирической линией регрессии.

Эмпирическая линия регрессии является ломаной линией, т.к. влияние прочих неучтенных причин в средних значениях результативного признака погашается не полностью. Но по этой линии можно получить приблизительное представление о линии связи.

Теоретической линией регрессии называется та линия, вокруг которой группируются точки корреляционного поля и которая указывает основную тенденцию развития (тренд).

Уравнение этой линии называется регрессионной моделью. Она может быть любой:

–прямая,

– парабола,

–гипербола и др.

Для построения регрессионных моделей нам необходимо найти их параметры. Так как теоретическая линия регрессии должна быть проведена таким образом, чтобы сумма отклонений эмпирических точек от теоретических была равна нулю, а сумма квадратов этих отклонений должна быть наименьшая, значит, следует воспользоваться методом наименьших квадратов.

По этому методу получаются системы уравнений для отыскания неизвестных параметров. Для уравнения прямой:

Параметр а₁ – коэффициент регрессии. Он показывает, на сколько в среднем изменяется величина результативного признака при изменении факторного признака X на единицу.

Геометрически этот параметр оценивает степень наклона линии регрессии по отношению к оси ОХ.

Параметр а₀ экономического смысла не имеет.

Коэффициент регрессии используют для определения коэффициента эластичности, который показывает, на сколько процентов в среднем изменится величина результативного признака У при изменении признака-фактора Х на 1%:

Для параболы система имеет вид.

Для гиперболы параметры а₀ и а₁ находят из системы уравнений вида:

10.5 Измерение тесноты связи между признаками

Для определения тесноты связи между факторным и результативным признаком используются:

1 индекс корреляции R, вычисляемый по формуле

где − общая дисперсия,

− дисперсия, измеряющая отклонениеy от y_x.

Значение R меняется от 0 до 1. Чем ближе к 1, тем связь теснее. Применяется для любого вида связи (не показывает направления).

2 теоретическое корреляционное отношение η:

Частным случаем теоретического корреляционного отношения является линейный коэффициент корреляции (), который применяется только в случае линейной связи. Он меняется от −1 до 1, показывает не только тесноту, но и направление связи. Вычисляется по следующей формуле:

10.6 Проверка значимости корреляционной связи с помощью дисперсионного анализа

Можно проверить значимость корреляционной связи с помощью дисперсионного анализа. Дисперсионный анализ основывается на расчленении общей вариации признака на вариацию систематическую, обусловленную введенным в анализ фактором (одним или несколькими), и на вариацию остаточную, обусловленную всеми прочими факторами. При этом дисперсии, измеряющие эти вариации, исчисляются путем деления сумм квадратов отклонений на число степеней свободы независимого варьирования. Для общей вариации число степеней свободы равняется n – 1, где n – численность единиц совокупности. Для вариации систематической число степеней свободы равняется m – 1, где m – число групп, образованных по факторному признаку. И для остаточной вариации (она аналогична внутригрупповой дисперсии) число степеней свободы равно n – m.

В качестве критерия оценки существенности различий этих дисперсий, а следовательно, и значимости выявленной зависимости принимается отношение

Выдающийся английский математик-статистик Р. Фишер вычислил критическое значение F в зависимости от числа степеней свободы той и другой дисперсии, случайное превышение которого маловероятно. Значит, если фактическое значение F превышает теоретическое (табличное) значение F, то различие между дисперсиями отражает не случайные факторы, а носит закономерный характер и тем подтверждается значимость найденной зависимости.

10.7 Понятие о многофакторном корреляционно-регрессионном анализе

Для многофакторного корреляционного анализа математически задача формулируется следующим образом: требуется найти аналитическое выражение, наилучшим образом отражающее связь между факторными признаками и результативными:

у=f(x₁, x₂ ,. . . x_n).

Наиболее сложным представляется выбор формы связи, т.к. графический метод здесь неприемлем. Можно опираться на теоретические знания, на опыт предыдущих исследований, а при отсутствии таких сведений можно определить вид связи опытным путем, т.е. путем перебора функций разных видов. Однако это сопряжено с большим количеством лишних расчетов.

Поскольку любую функцию многих переменных можно свести к линейному виду, то уравнение множественной регрессии можно искать в линейной форме:

В случае неадекватности линейного уравнения множественной регрессии рекомендуется повышать порядок уравнения, пока не удастся подобрать кривую, соответствующую данной статистической информации. При этом, как бы удачно не был выбран вид функции, нельзя ожидать полного соответствия расчетных у_х и фактических у значений изучаемого показателя, так как уравнение множественной регрессии учитывает влияние (среднее) на результативный признак не всех, а лишь основных, существенных факторов. Действие остальных неучтенных факторов и вызывает разброс фактических значений вокруг расчетных.

С помощью многофакторного корреляционного анализа находятся различного рода характеристики тесноты связи между изучаемым показателем и факторами: парные, частные и множественные коэффициенты корреляции, множественный коэффициент детерминации.

Парные коэффициенты корреляции. Для измерения тесноты связи между двумя из рассматриваемых переменных (без учета их взаимодействия с другими переменными) применяются парные коэффициенты корреляции. Методика расчета таких коэффициентов и их интерпретация аналогичны линейному коэффициенту корреляции в случае однофакторной связи.

Частные коэффициенты корреляции. Однако в реальных условиях все переменные, как правило, взаимосвязаны. Теснота этой связи определяется частными коэффициентами корреляции, которые характеризуют степень влияния одного из аргументов на функцию при условии, что остальные независимые переменные закреплены на постоянном уровне. В зависимости от количества переменных, влияние которых исключается (элиминируется), частные коэффициенты корреляции могут быть различного порядка. При исключении влияния одной переменной получаем частный коэффициент корреляции первого порядка; при исключении влияния двух переменных – второго порядка и т. д. Парный коэффициент корреляции между функцией и аргументом обычно не равен соответствующему частному коэффициенту.