Файл: Статистика предприятия Часть I курс лекций.docx

Определить моду и медиану.

Решение.

Модальный интервал [6-8], т.к. ему соответствует наибольшая частота f = 35. Тогда:

Хм₀=6, fм₀=35

hм₀=2, fм_0-1=20

fм₀₊₁=11

Вывод: Наибольшее число рабочих имеет стаж примерно 6,7 лет.

Для интервального ряда Ме вычисляется по следующей формуле:

где Хм_е – нижняя граница медиального интервала,

hм_е – величина медиального интервала,

– половина суммы частот,

fм_е – частота медианного интервала,

Sм_е-1 –сумма накопленных частот интервала, предшествующего медианному.

Медианный интервал – такой интервал, которому соответствует кумулятивная частота, равная или превышающая половину суммы частот.

Определим медиану для нашего примера.

Найдем:

т.к 82>50, то медианный интервал [6-8].

Тогда:

Хм_е =6, fм_е =35,

hм_е =2, Sм_е-1=47,

Вывод: Половина рабочих имеет стаж меньше 6,16 лет, а половина имеет стаж больше, чем 6,16 лет.

6 Показатели вариации

6.1 Характеристика показателей вариации

Средняя величина, характеризуя вариационный ряд в целом, не показывает, как располагаются вокруг нее варианты осредняемого признака, т.е. средняя не характеризует колеблемость признака. Однако именно колеблемость признака позволяет нам судить о равномерности того или иного процесса или явления или об однородности изучаемой совокупности, а значит и о надежности средних величин.

Пример вычисления средних в двух вариационных рядах с разным распределением частот:

Для 1-го ряда не более, чем на 1 от среднего значения отклоняется 120 единиц (30+60+30), или 91% (120/132 · 100%) всех единиц совокупности.

Для 2-го ряда не более, чем на 1 от среднего значения отклоняется 70 (10+10+50), или 42% (70/850 · 100%) всех единиц совокупности.

Вывод: 1-ый ряд является более однородным, чем 2-ой, и средняя характеристика для него более надежна.

Задача статистики заключается в том, чтобы дать числовое выражение колеблемости признака для более глубокого понимания сущности изучаемых явлений. Для этого в статистике рассчитываются следующие показатели вариации:

– размах вариации (R);

– среднее линейное отклонение ();

– дисперсия (σ²);

– среднее квадратическое отклонение (σ).

Кроме них используют относительный показатель вариации – коэффициент вариации (V).

Размах вариации R вычисляется по формуле

где X_maх (Х_min) – самое большое (малое) значение, принимаемое единицей совокупности.

Этот показатель является очень приблизительным, т.к. учитывает лишь значения крайних единиц совокупности. Поэтому его применяют редко, лишь в тех случаях, когда особые значения имеют либо наибольшее, либо наименьшее значения варианты.

Стремление составить показатель вариации, который учитывал бы все значения вариант, приводит к среднему линейному отклонению – это средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений вариант от их средней арифметической. Применяется в 2 формах:

– простой:

;

– взвешенной:

Недостатком этого показателя является то, что он не учитывает знаков отклонений.

Чтобы усилить различия в величинах отклонений, эти отклонения возводятся в квадрат, тогда отклонения меньше 1 уменьшаются, а больше 1- увеличиваются, и вводят новый показатель вариации – дисперсию. Это средний квадрат отклонения вариант от их средней арифметической. Используется в двух формах:

– простой

– взвешенной:

Среднее квадратическое отклонение (σ):

Рассмотренные показатели относятся к абсолютным показателям вариации и6 измеряются в тех же единицах, что и варианты (дисперсия – в квадратных единицах). Это не позволяет сравнивать между собой различные совокупности. Для этого вводится относительный показатель вариации, который называется коэффициентом вариации – это отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

Чем большее значение принимают показатели вариации, тем менее однородна совокупность и тем менее надежна средняя.

Принято считать, что если V>40%, то это свидетельствуют о большой колеблемости признака в изучаемой совокупности. В этом случае среднее значение ненадежно, недостоверно и по нему нельзя судить обо всей совокупности.

6.2 Показатели, характеризующие структуру и форму распределения признака

Для отражения особенностей структуры распределения признака в совокупности используют квантили распределения.

Квантили – это варианты признака, занимающие в упорядоченном (ранжированном) ряду единиц совокупности определенное место (каждое четвертое, каждое пятое, каждое шестое и т.д.). в результате квантили делят ряд распределения на равные (по числу единиц) части: квартили – на четыре; квинтили – на пять; секстили – на шесть; децили – на десять; перцентили – на сто частей. Значение квантилей для сгруппированных данных определяют по накопленным частотам.

Наиболее широко используют децили и квартили ряда распределения.

Первая дециль (D₁) – это такое значение признака, что 0,1 (или 10 %) единиц совокупности имеют значение признака меньше, чем D₁, а 0,9 (90 %) – больше чем 0D₁. Вторая дециль (D₂) – это такое значении признака, что 0,2 (или 20 %) единиц совокупности имеют значение признака меньше, чем D₂, а 0,8 (80 %) – больше, чем D₂. Аналогично определяют D₃, D₄, D₅, D₆, D₇, D₈, D₉. Формулы расчета крайних децилий следующие:

где, ,– нижняя граница интервалов, где находятся первая и девятая децили;,– величины интервалов, где располагаются первая и девятая частоты децили;– общая сумма частот (частостей);,– суммы частот (частостей), накопленных в интервалах, предшествующих интервалам, в которых находятся первая и девятая децили;и– частота интервала, в котором располагаются соответственно первая и девятая децили.

Первая квартиль (Q₁) определяет такое значение признака, что ¼ единиц совокупности имеют значение признака меньше, чем Q₁, а ¾ – больше чем Q₁. Вторая квартиль (Q₂) равна медиане. Третья квартиль (Q₃) определяет такое значение признака, что ¾ единиц совокупности имеют значения признака меньше, чем Q₃, а ¼ – больше, чем Q₃. Величины крайних для интервального ряда распределения могут быть рассчитаны по следующим формулам: