Файл: Статистика предприятия Часть I курс лекций.docx

,

,

где – нижняя граница интервала, в котором находятся первая и третья квартили;– суммы частот (частостей), накопленных в интервалах, предшествующих интервалам, в которых располагаются первая и третья квартили;– частота интервала, в котором находятся первая и третья квартили.

Для характеристики формы распределения используют показатель симметричности распределения частот – коэффициент асимметрии, и показатель эксцесса, который отражает крутизну (островершинность) этого распределения. Расчету значений этих показателей предшествует вычисление так называемых моментов распределения.

Моментом распределения называют среднюю арифметическую тех или иных степеней отклонений индивидуальных значений признака от определенной исходной величины:

где, x_i – значения признака; A – величина, от которой определяются отклонения; k – степень отклонения (порядок момента).

В зависимости от того, что принимается за исходную величину, различают три вида моментов:

– начальный (М) при А=0;

– центральный () при А=;

–условный (m), когда А – произвольная величина, не равная и отличная от нуля.

Начальный момент первого порядка представляет собой среднюю арифметическую, а центральный (нулевое свойство средней арифметической) всегда равен нулю. Центральный момент второго порядка – это дисперсия, а для третьего порядка он равен нулю в симметричном распределении и используется при определении показателя асимметрии. Центральный момент четвертого порядка применяется при вычислении показателя эксцесса.

Коэффициент асимметрии представляет собой нормированный центральный момент третьего порядка, т.е. отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднего квадратического отклонения:

Коэффициент асимметрии (A_s) характеризует асимметричность распределения признака в совокупности. Если A_s=0, то распределение симметричное, если A_s>0, то асимметрия правосторонняя, а если A_s<0, то асимметрия левосторонняя. Величина A_s может изменяться от –1 до +1 (для одновершинных распределений).

Для симметричных распределений среднее арифметическое значение, мода и медиана равны между собой. Учитывая это, показатель асимметрии может быть рассчитан следующим образом:

Для оценки существенности асимметрии вычисляют показатель средней квадратической ошибки коэффициента асимметрии:

Если отношение имеет значение больше трех, то это свидетельствует о существенном характере асимметрии.

Показатель островершинности распределения – эксцесс (Е_х) – рассчитывается для умеренно асимметричных распределений. Он будет наиболее точным, если при вычислении используется нормированный центральный момент четвертого порядка . В нормальном распределении это отношение равно трем, поэтому формула для расчета эксцесса как показателя отклонения от нормального распределения имеет следующий вид:

Эксцесс представляет собой отклонение вершины эмпирического распределения вверх или вниз от вершины кривой нормального распределения. Наличие положительного эксцесса означает, что распределение более островершинное, чем нормальное, а при отрицательном эксцессе распределение имеет более плосковершинный характер, чем нормальное.

3. Основные свойства дисперсии и ее вычисление

Дисперсия – это наиболее часто используемый показатель вариации. Это средний квадрат отклонения вариантов от их среднего значения. Используется в двух формах:

– простой

– взвешенной:

Свойства дисперсии:

1 Если все значения признака увеличить или уменьшить на некоторое постоянное число А, то дисперсия от этого не изменится:

2 Если все значения вариант увеличить или уменьшить в А раз, то дисперсия увеличится или уменьшится в А² раз (А≠0):

3 При увеличении или уменьшении всех частот признака в несколько раз дисперсия не меняется.

4 Дисперсия равна разности между средним квадратом значений признака и квадратом его средней:

Эта формула очень часто позволяет упростить вычисление дисперсии и практически является основной расчетной формулой.

Вычисление дисперсии способом моментов

Способ моментов применяется для упрощения расчетов в том случае, если варианты − большие числа. Первые четыре пункта такие же, как для вычисления средней арифметической способом моментов.

1 Выбираем так называемый «ложный ноль» – это варианта, имеющая наибольшую частоту или находящаяся в середине вариационного ряда.

Замечание: в качестве «ложного ноля» можно взять и любую другую варианту, но тогда вычисления будут более сложными.

2 Определяем условную варианту по формуле

,

где А – «ложный ноль»

h – величина интервала.

3 Если частоты большие числа, то можно перевести их в проценты:

4 Вычисляем момент первого порядка по формуле

5 Вычисляем момент 2-го порядка:

6 Вычисляем дисперсию:

6.4 Дисперсия альтернативного признака

В ряде случаев возникает необходимость изучать не среднюю величину, а долю единиц, обладающих каким-либо признаком. Признаки, имеющие только два взаимоисключающих значения − это наличие признака и его отсутствие, − называются альтернативными.

Альтернативные признаки − это совокупность атрибутивных признаков. Обозначим наличие признака через 1, отсутствие через 0, долю единиц, обладающих признаком, − р, а долю, не обладающих признаком, − q.

Тогда получим следующий ряд:

Вычислим числовые характеристики для этого ряда:

Среднее значение альтернативного признака равно доле единиц, обладающих этим признаком.

Дисперсия альтернативного признака равна произведению доли единиц, обладающих признаком, на число, дополняющую эту долю до единицы.

Пример:

Из обследованных 1000 единиц продукции, 800 оказались высшего сорта. Определить среднее значение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение доли продукции высшего сорта.

Решение:

Доля продукции высшего сорта: р=800/1000=0,8.

Т.к. = р, то= 0,8 или 80%. Следовательно 80% всей продукции – высшего сорта.

6.5 Определение тесноты связи между факторами. Правило сложения дисперсий

Если некоторая совокупность единиц делится на группы, то наряду с общей дисперсией может быть рассчитана дисперсия по отдельным группам (групповая или частная), а также средняя из групповых и межгрупповая дисперсия.

Групповые дисперсии характеризуют колеблемость признака, обусловленную причинами, действующими внутри каждой группы. Групповые дисперсии вычисляются как средний квадрат отклонений значения признака внутри групп от групповой средней. (i -номер группы):

Средняя из групповых дисперсий характеризует величину вариации, которая вызвана любыми факторами, кроме фактора, положенного в основание группировки. Вычисляется по формуле средней арифметической взвешенной из групповых дисперсий:

где i – номер группы.

Межгрупповая дисперсия выражает вариацию признака, обусловленную фактором, положенным в основание группировки. Межгрупповая дисперсия равна среднему квадрату отклонений групповых средних от общей средней:

где i − номер группы,

− групповые средние,

− общая средняя, вычисляется по формуле:

Общая дисперсия характеризует вариацию признака, которая зависит от всех факторов или всех условий данной совокупности. Она складывается из средней из групповых и межгрупповой дисперсии:

Эта формула выражает собой правило сложения дисперсий.

Изучение влияния факторов по их дисперсиям называется дисперсионным анализом.

Это статистический метод анализа результатов наблюдения, зависящих от различных одновременно действующих факторов. Этот метод обеспечивает выбор наиболее важных факторов и оценку их влияния.

С целью изучения тесноты связи между факторами в дисперсионном анализе рассчитывают коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

Коэффициент детерминации показывает, какая доля всей вариации обусловлена фактором, положенным в основание группировки, и равняется отношению межгрупповой дисперсии к общей:

Эмпирическое корреляционное отношение равно корню из коэффициента детерминации:

Оно показывает тесноту связи между признаками. Для более качественной оценки тесноты связи пользуются следующей таблицей: