Файл: Учебное пособие для студентов специальностей 125 01 10 Коммерческая деятельность.doc

Продолжение таблицы 5.1

№	Предельные характеристики	Обозначения, формулы
3	Вероятности состояний СМО, выраженные через средний интервал времени между соседними поступающими заявками, и среднее время об обслуживания одной заявки
4	Вероятность отказа
5	Вероятность того, что заявка будет принята в систему (не получит отказ)
6	Относительная пропускная способность
7	Абсолютная пропускная способность
8	Интенсивность выходящего потока обслуженных заявок
9	Среднее число заявок в очереди
10	Среднее число заявок, находящихся под обслуживанием
11	Среднее число заявок, находящихся в системе (как в очереди, так и под обслуживанием)
12	Среднее время ожидания заявки в очереди
13	Среднее время пребывания заявки в системе (как в очереди, так и под обслуживанием)
14	Среднее время обслуживания одной заявки, относящееся только к обслуженным заявкам
15	Среднее время обслуживания одной заявки, относящееся ко всем заявкам, как обслуженным, так и получившим отказ

---

Пример решения задачи
Постановка задачи. На складе бакалейных товаров имеется одна погрузочно-разгрузочная рампа. Площадка при складе, на которой машины ожидают загрузку, может вместить не более трех машин одновременно, и если она занята, то очередная машина, прибывшая к складу, в очередь не становится, а проезжает на другой склад. В среднем машины прибывают на склад каждые 2 мин. Процесс загрузки одной машины продолжается в среднем 2,5 мин.

Определить:

1. 
   вероятность отказа;
   
2. 
   относительную и абсолютную пропускные способности СМО;
   
3. 
   среднее число машин ожидающих загрузки;
   
4. 
   среднее время ожидания машины в очереди;
   
5. 
   среднее время пребывания машины на складе (включая обслуживание).
   

Решение задачи
Математической моделью данного склада является одноканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди (m=3). Предполагается, что поток машин, подъезжающих к складу для загрузки, и поток обслуживаний – простейшие.

Поскольку машины прибывают в среднем через каждые 2 мин, то интенсивность входящего потока равна (машин в минуту). Среднее время обслуживания одной машины мин, следовательно, интенсивность потока обслуживаний (машины в минуту).

Определяем показатель нагрузки СМО:

.

По формуле из 4-й строки таблицы 5.1 определяем вероятность отказа:

.

По формуле из 6-й строки таблицы 5.1 относительная пропускная способность составит

.

По формуле из 7-й строки таблицы 5.1 абсолютная пропускная способность составит

.

Среднее число машин, ожидающих в очереди на загрузку (9-я строка таблицы 5.1):

.

Среднее число машин под обслуживанием (10-я строка таблицы 5.1):

---

.

Среднее число машин, связанных со складом (находящихся в системе), см. формулу в 11-й строке таблицы 5.1:

.

Среднее время ожидания машины в очереди (формула в 12-й строке таблицы 5.1):

.

Среднее время, проведенное машиной на складе (см. формулу в 13-й строке таблицы 5.1):

.

Среднее время обслуживания одной машины, относящееся ко всем машинам – обслуженным и необслуженным (см. формулу в 15-й строке таблицы 5.1):

.

Таким образом, из анализа работы СМО следует, что из каждых 100 подъезжающих машин 30 получают отказ ( ), т.е. обслуживается 2/3 заявок. Поэтому необходимо либо сократить время обслуживания одной машины (увеличить интенсивность потока обслуживаний), либо увеличить число погрузочно-разгрузочных рамп, либо увеличить площадку для ожидания. Оптимальное решение принимается с учетом затрат, связанных соответственно с увеличением штата обслуживающего персонала (увеличение производительности канала), с расширением площадки для ожидания или проектирования дополнительной рампы, и потерь, связанных с потерей заявок на обслуживание.
2 Одноканальная СМО с ожиданием
Проанализируем работу одноканальной СМО с ожиданием без ограничений на длину очереди и на время ожидания в очереди. Предполагаем, что входящий поток с интенсивностью λ и поток обслуживаний с интенсивностью μ простейшие. Длина очереди в данной СМО бесконечна, т.е. m → ∞. При условии, что λ < μ, т.е. ρ < 1, с течением времени устанавливается предельный режим и предельные вероятности состояний СМО существуют.

Характеристики данной СМО представлены в таблице 5.2.
Таблица 5.2–Предельные характеристики эффективности функционирования одноканальной СМО с ожиданием

№	Предельные характеристики	Обозначения, формулы
1	Среднее время обслуживания одной заявки
2	Показатель нагрузки (трафик) СМО
3	Вероятности состояний СМО
4	Вероятность отказа
5	Вероятность того, что заявка будет принята в систему
6	Относительная пропускная способность
7	Абсолютная пропускная способность
8	Интенсивность выходящего потока заявок
9	Среднее число заявок в очереди

---

Продолжение таблицы 5.2

№	Предельные характеристики	Обозначения, формулы
10	Среднее число заявок, находящихся под обслуживанием
11	Среднее число заявок, находящихся в системе (как в очереди, так и под обслуживанием)
12	Среднее время ожидания заявки в очереди
13	Среднее время пребывания заявки в системе (как в очереди, так и под обслуживанием)

3 Многоканальная СМО с отказами
Если требование пос­тупает в систему в момент, когда все n каналов заняты, то оно получает отказ (покидает систему необслуженным). Ес­ли же в момент поступления требования имеется хотя бы один свободный канал, то оно принимается к обслуживанию и обслуживается до конца.

Характеристики эффективности СМО с отказами представлены в таблице 5.3.
Таблица 5.3 – Предельные характеристики эффективности функционирования многоканальной СМО с отказами

№	Предельные характеристики	Обозначения, формулы
1	Вероятности состояний СМО рk, k = 1, …, n, выраженные через интенсивность входящего потока λ и интенсивность потока обслуживания μ
2	Приведенная интенсивность входящего потока – трафик (показатель нагрузки СМО)	, где – среднее время обслуживания одной заявки одним каналом; – средний интервал времени между двумя соседними заявками во входящем потоке
3	Вероятности состояний СМО рk, k = 1, …, n, выраженные через трафик ρ
4	Вероятность отказа ротк

---

Продолжение таблицы 5.3

№	Предельные характеристики	Обозначения, формулы
5	Вероятность того, что пришедшая заявка будет обслужена
6	Относительная пропускная способность
7	Абсолютная пропускная способность
8	Интенсивность выходящего потока обслуженных заявок
9	Среднее число занятых каналов
10	Среднее время пребывания заявки в СМО (формула Литтла)

Пример решения задачи
Постановка задачи. На вокзале, в кафе быстрого обслуживания имеется 3 столика. Если клиент заходит в кафе, когда все столы заняты, то он уходит из кафе, не ожидая обслуживания. Среднее число клиентов, обращающихся в кафе за 1 час, равно 20. Среднее время, в течение которого столик кафе занят другим клиентом составляет 6 мин.

На вокзале, в мастерской бытового обслуживания работают 3 мастера. Если клиент заходит в мастерскую, когда все мастера заняты, то он уходит из мастерской, не ожидая обслуживания. Среднее число клиентов, обращающихся в мастерскую за 1 час, равно 20. Среднее время, которое затрачивает мастер на обслуживание одного клиента, равно 6 мин.

Определить основные характеристики эффективности функционирования данного кафе в предельном режиме:

1. 
   вероятность того, что клиент получит отказ р_отк;
   
2. 
   вероятность того, что клиент будет обслужен р_об;
   
3. 
   среднее число клиентов А, обслуживаемых кафе в течение 1 часа;
   
4. 
   среднее число занятых столов .
   

---