Файл: Курс лекций по сопротивлению материалов Уфимский государственный нефтяной технический университет, 2012 Введение Задачи, цель и предмет курса.doc

бруса. Вывод универсального уравнения основан на так называемом методе начальных параметров (МНП). По этому методу прогиб в любом сечении балки определяется через перемещения и силовые факторы, взятые в начале координат с учетом приложенной к балке нагрузки.

Представим себе, что на брус действует произвольная система нагрузок, показанная на рис. 8.6.1,а. Представленное направление нагрузок считается положительным. Начало координат совместим с центром тяжести сечения на левом конце балки. Жесткость балки считают постоянной по всей её длине.




Разобьём балку на участки таким образом, чтобы на протяжении каждого участка изгибающий момент выражался с помощью непрерывной функции:

M_I= M_I (z);

M_II= M_II (z).

………………

Рассмотрим первый участок, для которого дифференциальное уравнение имеет вид

(а)

Здесь - прогиб в произвольном сечении первого участка;

М_I –функция, выражающая значение изгибающего момента в произвольном сечении первого участка.

Разложим функцию прогиба в ряд Маклорена . (б)

В этом уравнении величины и т. д. представляют собой функцию (z) и её производные, взятые в начале координат, т.е. при z = 0. Учтём дифференциальные зависимости:

(в)
Положим z=0 и обозначим:

и - прогиб и угол поворота в начале координат;

---

и -момент и поперечная сила в сечении, взятые в

начале координат;

- интенсивность нагрузки и её производные, взятые

в начале координат.

Тогда на основании сравнения (б) и (в) имеем следующие равенства:

и т.д.

Подставляя эти значения в уравнение (б), получим

(8.9)

Полученное уравнение позволяет выразить прогибы в любом сечении первого участка через начальные параметры и т.д. Часть этих параметров известна заранее, а часть подлежит определению из граничных условий.

По уравнению (8.9), полученного для первого участка, построим линию прогибов в пределах двух участков. На протяжении первого участка (рис. 3,г) она изображена жирной линией, на протяжении второго участка – пунктиром. Пунктирная линия представляет собой изображение линии, описанной уравнением (8.9), но она не совпадает с истинной кривой оси изогнутого бруса для второго участка, которая проведена жирной линией. Ординаты между двумя указанными кривыми заштрихованы на чертеже. Аналитически эти ординаты выражаются равенством

(г)

Определим величину , а затем найдём ординаты прогибов балки на втором участке:

(д)

Для этой цели напишем два дифференциальных уравнения:


Вычитая первое уравнение из второго, получаем




Обозначив



Имеем

---

(е)

На основании сходства дифференциального уравнения (е) с основным уравнением (а) можно утверждать, что решение для функции совпадает с решением, полученным для функции (9).

В этом решении вместо координаты z берется координата, отсчитанная от т.1, т.е. (z-а₁). Вместо величин M₀ , Q₀ , q₀ , ..., и т.д. необходимо брать М₁, Q₁, q₁ … .

Следовательно, (8.10)

Для непрерывных балок, которые по всей длине, в том числе в т.1, не имеют разрезов и полных шарниров,

Скачок угла поворота может иметь место в случае, если в точке 1 поставлен шарнир, из-за которого углы поворота слева и справа от точки 1 будут различны (рис. 8.7, а ). Скачок в прогибах возможен, если в точке 1 поставлен сложный шарнир (рис. 8.7, б ).



Если учесть, что

(ж)
и вместе с тем воспользоваться уравнениями (8.9) и (8.10), то получим универсальное уравнение прогибов для произвольного участка


Путем дифференцирования получим универсальное уравнение для углов поворота



где - прогиб, угол поворота, изгибающий момент, поперечная сила, интенсивность поперечной нагрузки в начале координат;

- приращения соответствующих величин на границах участков;

---

- расстояние от начала координат до начала участка, в котором имеется скачек .

При решении каких-либо частных задач целый ряд членов, входящих в уравнения (10) и (11), равен нулю.

Полученные уравнения (8.11) и (8.12) зависят от величин и т.п., которые берутся в начале координат, поэтому метод решения по указанным уравнениям носит название метод начальных параметров (МНП) .

Основное преимущество (МНП) состоит именно в том, что независимо от числа участков и нагрузки число постоянных, которые надо определить в статически определимой балке, не превышает двух.

Для балки, изображенной на рисунке 8.8,а, начальный прогиб и начальный угол поворота равны нулю.

Для случая, представленного на рисунке 8.8,б, начальный прогиб равен нулю, неизвестным остается начальный угол поворота ₀, который может быть определим из равенства нулю прогиба на правой опоре.




В некоторых случаях ставится вопрос об определении места и величины наибольшего прогиба балки. Для определения местоположения сечения, в котором прогиб приобретает наибольшее значение, необходимо приравнять нулю производную:

(8.13)

откуда можно определить координату наибольшего прогиба.

Пример 3. Двухопорная балка загружена треугольной нагрузкой общим весом G.

1. Составить уравнения прогибов и углов поворота.

2. Найти наибольший прогиб.
Опорные реакции Y_A=G/3 иY_B= 2G/3. Наибольшая интенсивность q₁=2G/l, интенсивность в произвольном сечении q(z)=q₁(z/l), q^(z)=tg=q₁/l=2G/l².
Граничные условия:

При z=0

---

₀=0;

z=l_l=0.
Составим уравнения прогибов и углов поворота:





Из условия закрепления для правого конца (z=l, _l=0) определяем ₀).

Уравнение прогибов

,

откуда находим
Окончательно, уравнения прогибов и углов поворота имеют вид




Чтобы найти наибольший прогиб, необходимо учесть, что в этом сечении угол поворота равен нулю. Приравнивая нулю уравнение углов поворота, получаем


или

z₀=0,52l 0,5l.

Пример 4. Получить универсальное уравнение прогибов для произвольного участка балки, представленной на рис.8.10.
Определим опорные реакции:


Проверка:
Построим эпюры Q_Yи M_X.

При составлении универсального уравнения прогибов рационально выбрать начало отсчета в точке В т.к. прогиб в т.В равен нулю.

Составим уравнение прогибов



Из условий закрепления балки на опоре

---