Файл: Методичка по механике вся Печать новый вариант12г.doc

№11. По круговой орбите вокруг Земли обращается спутник с периодом Т=90 мин. Определить высоту спутника. Ускорение свободного паденияgу поверхности Земли и ее радиусRсчитать известными.

Дано:

Т=5400 с,

g=9,8 м/с²,

R=6410⁵м.

Решение.

Найти: h-?

Спутник движется относительно Земли по круговой орбите, т.е. имеет центростремительное ускорение, которое ему сообщает сила тяготения. По закону всемирного тяготения:

По второму закону Ньютона для спутника:



Учли выражение для центростремительного ускорения (, гдеr- радиус окружности вращения). Получаем:

.

В соответствии с определениями периода вращения и скорости скорость равна:

Подставляем: .

Вычислим: 2,68110⁵(м)268 (км).

Ответ: 268 км.

№12. Материальная точка движется по окружности с постоянной угловой скоростью рад/с. Во сколько раз путьs, пройденный точкой за времяt=4 с, будет больше модуля ее перемещенияr? Принять, что в момент начала отсчета времени радиус-векторr, задающий положение точки на окружности, относительно исходного положения был повернут на уголрад.

Дано:

рад/с;

t=4 с;

рад

Решение.При равномерном движении по окружности положение точки можно задать указанием угла поворота относительно некоторого начала отсчета. Тогда через времяtматериальная точка окажется в положении, которому соответствует угол

Вычислим для t=4 с:

Укажем на рис. Начальное и конечное положения точки.

Далее из геометрических соображений находим искомое отношение:

Вычислим:

Ответ: в 1,2 раза.

Найти: -?

№13. Снаряд, летевший со скоростью v=400 м/с, в верхней точке траектории разорвался на два осколка. Меньший осколок, масса которого составляет 40% от массы снаряда, полетел в противоположном направлении со скоростьюu₁=150 м/с. Определить скоростьv₂большего осколка.

Дано:

v=400 м/с,

k=0,4;

u₁=150 м/с

Решение. В верхней точке траектории скорость снаряда была направлена горизонтально.

Будем искать скорость большего осколка сразу после разрыва. Тогда, считая время разрыва достаточно малым, применим закон сохранения импульса для системы «m»:

Отсюда делаем вывод, что скорость большего снаряда направлена также по горизонтали.

В проекции на горизонтальную ось х(направление движения снаряда в момент разрыва):

откуда выразим скорость второго осколка:

Вычислим:

(м/с).

Ответ: 767 м/с в направлении движения снаряда до разрыва.

Найти: u₂-?

№14. Из ствола автоматического пистолета вылетела пуля массой m₁=10 г со скоростьюv=300 м/с. Затвор пистолета массойm₂=200 г прижимается к стволу пружиной, жесткость которойk=25 кН/м. На какое расстояние отойдет затвор после выстрела? Считать, что пистолет жестко закреплен.

Дано:

m₁=10^-2кг;

m₂=0,2 г

v=300 м/с;

k=25∙10³Н/м

Решение.

Найти: х-?

К системе «затвор-пуля» можно применить закон сохранения импульса, считая время взаимодействия достаточно малым. Тогда импульсы системы до и после взаимодействия равны. Импульс до взаимодействия (до выстрела) равен нулю, тогда суммарный импульс системы после выстрела также равен нулю, или импульс пули по значению равен импульсу затвора (а их направления противоположны):

-

- скорость затвора после выстрела, тогда кинетическая энергия затвора равна

Далее рассматриваем систему «затвор-пружина»: в ней действуют только потенциальные силы (сила упругости пружины). Влияние внешних сил (силы тяжести) не существенно. Тогда по закону сохранения энергии:

-

- искомое расстояние.

Проверим размерность:

Вычислим:

(м)=4 (см).

Ответ: на 4 см.

№15. Написать уравнение гармонического колебательного движения, если максимальное ускорение точки равно 0,493 м/с², период колебаний 2 с и смещение точки от положения равновесия в начальный момент времени 0,025 м.

Дано: а_max=0,493 м/с²,

Т=2 с,

х₀=0,025 м

Решение.Уравнение гармонического колебательного движения имеет вид:

где - амплитуда колебаний,- начальная фаза,- циклическая частота колебаний.

При максимальном отклонении от положения равновесия квазиупругая сила максимальна, т.е. имеет место равенство

.

Циклическая частота связана с периодом колебаний:

(рад/с²).

Тогда амплитуда равна

(м)

В начальный момент времени, т.е. при t=0 уравнение гармонических колебаний примет вид:

(рад).

Получаем искомое уравнение

Ответ:

№16. Из пружинного пистолета с пружиной жесткостью k=150 Н/м был произведен выстрел пулей массойm=8 г. Определить скоростьvпули при вылете ее из пистолета, если пружина была сжата нах=4 см.

Дано:

k=150 Н/м;

m=8∙10^-3кг;

х=0,04 м

Решение.

Найти: v-?

Рассмотрим систему «пружина-пуля». В ней нет непотенциальных сил, поэтому полная механическая энергия системы сохраняется. При выстреле потенциальная энергия деформации пружины переходит в кинетическую энергию пули:

.

Проверка размерности аналогична предыдущей задаче.

Вычислим:

(м/с).

Ответ: 5,5 м/с.

№ 17. Радиус спутника Сириуса в 7 раз, а средняя плотность в 1000 раз больше радиуса и плотности Земли. Зная ускорение свободного падения у поверхности Земли, определить ускорение свободного падения у поверхности Сириуса.

Дано:

n=7

k=1000

g=9,8 м/с²

Решение.