Файл: kurs-lekcij-po-tau.doc

где P() -вещественная ЧХ (ВЧХ); Q() -мнимая ЧХ (МЧХ); А() -амплитудная ЧХ (АЧХ):() -фазовая ЧХ (ФЧХ). АЧХ дает отношение амплитуд выходного и входного сигналов, ФЧХ - сдвиг по фазе выходной величины относительно входной:

;

Если W(j) изобразить вектором на комплексной плоскости, то при измененииот 0 до +его конец будет вычерчивать кривую, называемуюгодографом вектораW(j), илиамплитудно - фазовую частотную характеристику (АФЧХ)(рис.48).

Ветвь АФЧХ при изменении от -до 0 можно получить зеркальным отображением данной кривой относительно вещественной оси.

В ТАУ широко используются логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ)(рис.49):логарифмическая амплитудная ЧХ (ЛАЧХ)L() илогарифмическая фазовая ЧХ (ЛФЧХ)(). Они получаются путем логарифмирования передаточной функции:

ЛАЧХ получают из первого слагаемого, которое из соображений масштабирования умножается на 20, и используют не натуральный логарифм, а десятичный, то есть L() = 20lgA(). Величина L() откладывается по оси ординат вдецибелах. Изменение уровня сигнала на 10 дб соответствует изменению его мощности в 10 раз. Так как мощность гармонического сигнала Р пропорциональна квадрату его амплитуды А, то изменению сигнала в 10 раз соответствует изменение его уровня на 20дб,так как

lg(P₂/P₁) = lg(A₂²/A₁²) = 20lg(A₂/A₁).

По оси абсцисс откладывается частота w в логарифмическом масштабе. То есть единичным промежуткам по оси абсцисс соответствует изменение w в 10 раз. Такой интервал называется декадой. Так как lg(0) = -, то ось ординат проводят произвольно.

ЛФЧХ, получаемая из второго слагаемого, отличается от ФЧХ только масштабом по оси . Величина() откладывается по оси ординат в градусах или радианах. Для элементарных звеньев она не выходит за пределы: -+.

ЧХ являются исчерпывающими характеристиками системы. Зная ЧХ системы можно восстановить ее передаточную функцию и определить параметры.

6.2. Частотные характеристики типовых звеньев

Зная передаточную функцию звена W(p) легко получить все его частотные характеристики. Для этого необходимо подставить в нее jвместо p, получим АФЧХ W(j). Затем надо выразить из нее ВЧХ P() и МЧХ (Q(). После этого преобразуют АФЧХ в показательную форму и получают АЧХ A() и ФЧХ(), а затем определяют выражение ЛАЧХ L(w) = 20lgA() (ЛФЧХ отличается от ФЧХ только масштабом оси абсцисс).

6.2.1. Безынерционное звено

Передаточная функция:

W(p) = k.

АФЧХ: W(j) = k.

ВЧХ: P() = k.

МЧХ: Q() = 0.

АЧХ: A() = k.

ФЧХ: () = 0.

ЛАЧХ: L() = 20lgk.

Некоторые ЧХ показаны на рис.50. Звено пропускает все частоты одинаково c увеличением амплитуды в k раз и без сдвига по фазе.

6.2.2. Интегрирующее звено

Передаточная функция:

W(p) = k/p.

Рассмотрим частный случай, когда k = 1, то есть

W(p) = 1/p.

АФЧХ: W(j) =.

ВЧХ: P() = 0.

МЧХ: Q() = - 1/.

АЧХ: A() = 1/.

ФЧХ: () = - /2.

ЛАЧХ: L() = 20lg(1/) = - 20lg().

ЧХ показаны на рис.51. Все частоты звено пропускает с запаздыванием по фазе на 90^о. Амплитуда выходного сигнала увеличивается при уменьшении частоты, и уменьшается до нуля при росте частоты (звено "заваливает" высокие частоты). ЛАЧХ представляет собой прямую, проходящую через точку L() = 0 при= 1. При увеличении частоты на декаду ордината уменьшается на 20lg10 = 20дб, то есть наклон ЛАЧХ равен - 20 дб/дек (децибел на декаду).

6.2.3. Апериодическое звено

При k = 1 получаем следующие выражения ЧХ:

W(p) = ;

;

() = 1 - 2 = - arctg(T);

;

L() = 20lg(A()) = - 10lg(1 + (T)2).

Здесь A1 и A2 - амплитуды числителя и знаменателя ЛФЧХ; 1 и2 - аргументы числителя и знаменателя. ЛФЧХ:

ЧХ показаны на рис.52. АФЧХ есть полуокружность радиусом 1/2 с центром в точке P = 1/2. При построении асимптотической ЛАЧХ считают, что при <₁= 1/T можно пренебречь (T)²выражении для L(), то есть L()- 10lg1 = 0.. При>₁пренебрегают единицей в выражении в скобках, то есть L(w)- 20lg(wT). Поэтому ЛАЧХ проходит вдоль оси абсцисс до сопрягающей частоты, затем - под наклоном - 20 дб/дек. Частота w1 называется сопрягающей частотой. Максимальное отличие реальных ЛАЧХ от асимптотических не превышает 3 дб при=₁.

ЛФЧХ асимптотически стремится к нулю при уменьшении w до нуля (чем меньше частота, тем меньше искажения сигнала по фазе) и к - /2 при возрастаниидо бесконечности. Перегиб в точке=₁при() = -/4. ЛФЧХ всех апериодических звеньев имеют одинаковую форму и могут быть построены по типовой кривой с параллельным сдвигом вдоль оси частот.