Файл: kurs-lekcij-po-tau.doc

h(t) = = A₀W(0) + (jkw)[A_k1cos(kwt) + A_k2sin(kwt)].

Преобразование этого выражения приводит к двум равнозначным формулам определения h(t)через составляющие ВЧХ:

; ,

где P()иQ()- вещественная и мнимая части АФЧХ замкнутой САУ. Предпочтение обычно оказывают первой формуле, хотя с одинаковым успехом можно использовать и вторую.

Точно вычислить эти интегралы можно только с помощью ЭВМ, но в практике нашел широкое применение приближенный способ построения переходной характеристики на основе линейной аппроксимации ВЧХ замкнутой САУ, который называется метод трапеций. Прежде, чем рассматривать этот метод, рассмотрим без доказательства основные соотношения между ВЧХ замкнутой САУ и ее переходной характеристикой.

13.2. Основные соотношения между вчх и переходной характеристикой

1.Начальное значение ВЧХ P(0) равно установившемуся значению переходной характеристикиhу_ст = P() = P(0).

2.САУ с вогнутой ВЧХ (рис.97а кривая 1) не имеет перерегулирования, то есть ей соответствует монотонная переходная характеристика (рис.97б кривая 1).

3.САУ с трапециидальной ВЧХ (рис.97а кривая 2, такую ВЧХ можно аппроксимировать трапецией) имеетапериодическуюпереходную характеристику (рис.97б кривая 2), причем величина перерегулирования s_maxне превышает 18%.

4.Кривые 3 и 4 на рис.97а соответствуют колебательной переходной характеристике (рис.97б кривая 3). Величина перерегулированияs_maxтем больше, чем больше отношениеP()_max/P(0). Если это отношение стремится к бесконечности, то есть имеет место разрыв ВЧХ, то переходная характеристика приобретает вид незатухающих колебаний и САУ переходит на границу устойчивости. Величину перерегулирования можно приблизительно вычислить исходя из соотношения

s_max < .

Наличие отрицательного экстремума у ВЧХ (кривая 4) свидетельствует о повышенной колебательности системы.

5.Время переходного процессаt_ппможно оценить приблизительно по виду ВЧХ без построения кривойh(t). Оно определяется полосой частотw_п, при которых P() > 0.2P(0)(рис.98). _пназывают интервалом положительностиP(). При этом всегда t_пп >p/_п. Для кривой 1 рис.97а:t_пп4/_п. Для кривой 2:t_пп(1..4)4/_п. Для кривых 3 и 4 коэффициент пропорциональности больше, причем он тем больше, чем больше отношениеP()_max/P(0).

13.3. Метод трапеций

Этот метод основан на свойствах ВЧХ, следующих из полученной ранее формулы, которые мы рассмотрим без доказательств.

1.Свойство линейности: если ВЧХ можно представить суммойP() =SPi(), то каждой составляющейPi()будет соответствовать составляющая переходной характеристики

,

при этом h(t) = (рис.99а). Поэтому, если ВЧХ имеет сложную форму, ее можно представить суммой трапециидальных ВЧХ, примыкающих к вертикальной оси. Затем все трапеции перерисовывают, перенося их основания на горизонтальную ось (рис.99б). Каждой такой трапеции соответствует своя составляющая переходной характеристикиh_i(t), имеющая апериодический характер (рис.99в).

Результирующая кривая строится суммированием данных составляющих.

2.Если умножитьP()на постоянный множительа, то соответствующая ей h(t) также умножается наа. То есть, чем выше ВЧХ, тем выше и переходная характеристика (рис.100).

3.Если аргумент w в выражении ВЧХ P() умножить на постоянный множитель а, то аргумент вh(t) будет делиться на это число, то есть

.

То есть переходный процесс в случае P(a)будет протекать вараз быстрее, чем в случаеP()(рис.101).

Рассмотрим трапециидальную ВЧХ (рис.102а). Она характеризуется коэффициентом наклона k = ₁₂. Подединичной трапецией(рис.102б) понимают трапецию, две стороны которой совпадают с осями координат и равны по 1 в соответствующих масштабах; наклонk может быть различным:P₁() =.

Подставляя это определение в выражение для определения h(t)можно вычислить кривую переходного процесса, соответствующую единичной трапециидальной ВЧХ. Эти расчеты были проделаны и составлены таблицыh_k -функций.

Для любой трапециидальной ВЧХ, на которые разбита реальная ВЧХ (рис.99б), можно построить подобную ей единичную трапецию со значением k = ₁₂, где ₁- частота, соответствующая перелому реальной трапеции, ₂- основание трапеции реальной ВЧХ. Для данной единичной трапеции по таблицеh_k-функций строят кривуюh_k(k,t), гдеt - время. Затем, используя свойства 2 и 3 масштабирования ВЧХ и переходной характеристики строят кривую переходного процесса, соответствующего данной трапециидальной ВЧХ. Причем оба описанных процесса можно совместить: сначала задаются моментом времениt, для него по таблице находят значение h_k(k,t), потом умножают это значение на P(0)(масштабирование по вертикальной оси) и откладывают полученное значение на графикеh(t)для времениt = t/₂(масштабирование по горизонтальной оси). Строя таким образом точки для различных моментов времени получают кривую

h_i(t/₂) = P(0)h_k(k,t).

Данный алгоритм удобно оформить в таблицу:

После суммирования составляющих переходного процесса, соответствующих каждой трапеции, получают реальную характеристику h(t).

Описанный метод построения переходной характеристики называется методом трапеций.

Лекция 14.Синтез сау

14.1. Синтез сау

В ТАУ можно выделить две характерные задачи: 1) в заданной САУ найти и оценить переходные процессы - это задача анализа САУ; 2) по заданным переходным процессам и основным показателям разработать САУ - это задача синтеза САУ.

Вторая задача сложнее в виду своей неоднозначности, многое определяется творческими способностями проектировщика. Поэтому обычно задачу синтеза САУ ставится ограниченно. Считается, что основная часть системы уже задана, что обычно имеет место. Требуется синтезировать корректирующие звенья, то есть выбрать их схему и параметры. При этом необходимо, чтобы в результате коррекции САУ обеспечивался требуемый запас устойчивости; точность управления в установившихся режимах и качество управления в динамических режимах.