Файл: kurs-lekcij-po-tau.doc

Зная передаточную функцию W(p) = K(p)/D(p), выражение для переходной функции можно найти из формулы Хевисайда:, гдеp_k- корни характеристического уравненияD(p) = 0. Взяв производную от переходной функции можно получить выражение для импульсной переходной функции (t) = h’(t).

5.2. Переходные характеристики элементарных звеньев

Здесь мы рассмотрим только самые основные звенья.

5.2.1. Безынерционное (пропорциональное, усилительное) звено

Это звено, для которого в любой момент времени выходная величина пропорциональна входной.

Его уравнение: y(t) = ku(t).

Передаточная функция: W(p) = k.

Переходная характеристика: h(t) = k1(t).

В ответ на единичное ступенчатое воздействие сигнал на выходе мгновенно достигает величины в kраз большей, чем на входе и сохраняет это значение (рис.43). Приk = 1звено никак себя не проявляет, а при k = - 1- инвертирует входной сигнал.

Любое реальное звено обладает инерционностью, но с определенной точностью некоторые реальные звенья могут рассматриваться как безынерционные, например, жесткий механический рычаг, редуктор, потенциометр, электронный усилитель и т.п.

5.2.2. Интегрирующее (астатическое) звено

Его уравнение , или, илиpy = ku.

Передаточная функция: W(p) = k/p.

Переходная характеристика: (рис.44).

При k = 1звено представляет собой “чистый” интеграторW(p) = 1/p. Интегрирующее звено неограниченно "накапливает" входное воздействие. Примеры интегрирующих звеньев: электродвигатель, поршневой гидравлический двигатель, емкость и т.п. Введение его в САУ превращает систему в астатическую, то есть ликвидирует статическую ошибку.

5.2.3. Инерционное звено первого порядка (апериодическое)

Уравнение динамики: , илиTpy + y = ku.

Передаточная функция: W(p) =.

Переходная характеристика может быть получена с помощью формулы Хевисайда:

,

где p₁ = - 1/T- корень уравненияD(p) = Tp + 1 = 0; D’(p₁) = T.

Переходная характеристика имеет вид экспоненты (рис.45), по которой можно определить передаточный коэффициент k, равный установившемуся значению h(t), и постоянную времениТпо времениt, соответствующему точке пересечения касательной к кривой в начале координат с ее асимптотой. При достаточно большихТзвено на начальном участке может рассматриваться как интегрирующее, при малыхТзвено приближенно можно рассматривать как безынерционное. Примеры апериодического звена: термопара, электродвигатель, четырехполюсник из сопротивления и емкости или сопротивления и индуктивности.

5.2.4. Инерционные звенья второго порядка

Его уравнение: T₁²p²y + T₂py + y = ku.

Передаточная функция: W(p) =.

Решение уравнения зависит от соотношения постоянных времени T₁иT₂, которое определяет коэффициент затухания r =. Можно записатьW(p) = , гдеT = T₁.

Если r1, то знаменательW(p)имеет два вещественных корняp₁иp2и раскладывается на два сомножителя:

T₂p² + 2rTp + 1 = T²(p - p₁).(p - p₂).

Такое звено можно разложить на два апериодических звена первого порядка, поэтому оно не является элементарным.

При r<1корни полинома знаменателяW(p)комплексно сопряженные:p_1,2 = ± j. Переходная характеристика представляет собой выражение, характеризующее затухающий колебательный процесс с затуханием и частотой (рис.46). Такое звено называетсяколебательным. Приr = 0колебания носят незатухающий характер. Такое звено является частным случаем колебательного звена и называетсяконсервативным. Примерами колебательного звена могут служить пружина, имеющая успокоительное устройство, электрический колебательный контур с активным сопротивлением и т.п. Зная характеристики реального устройства можно определить его параметры как колебательного звена. Передаточный коэффициент kравен установившемуся значению переходной функции.

5.2.5. Дифференцирующее звено

Различают идеальное и реальное дифференцирующие звенья. Уравнение динамики идеального звена: y(t) = , илиy = kpu. Здесь выходная величина пропорциональна скорости изменения входной величины. Передаточная функция:W(p) = kp. Приk = 1звено осуществляет чистое дифференцированиеW(p) = p. Переходная характеристика: h(t) = k1’(t) = d(t).

Идеальное дифференцирующее звено реализовать невозможно, так как величина всплеска выходной величины при подаче на вход единичного ступенчатого воздействия всегда ограничена. На практике используют реальные дифференцирующие звенья, осуществляющие приближенное дифференцирование входного сигнала.

Его уравнение: Tpy + y = kTpu.

Передаточная функция: W(p) = .

При малых Т звено можно рассматривать как идеальное дифференцирующее. Переходную характеристики можно вывести с помощью формулы Хевисайда:

,

здесь p₁ = - 1/T - корень характеристического уравнения D(p) = Tp + 1 = 0; кроме того,D’(p₁) = T.

При подаче на вход единичного ступенчатого воздействия выходная величина оказывается ограничена по величине и растянута во времени (рис.47). По переходной характеристике, имеющей вид экспоненты, можно определить передаточный коэффициент kи постоянную времениТ. Примерами таких звеньев могут являться четырехполюсник из сопротивления и емкости или сопротивления и индуктивности, демпфер и т.п. Дифференцирующие звенья являются главным средством, применяемым для улучшения динамических свойств САУ.

Кроме рассмотренных имеется еще ряд звеньев, на которых подробно останавливаться не будем. К ним можно отнести идеальное форсирующее звено (W(p) = Tp + 1, практически не реализуемо), реальное форсирующее звено(W(p) = , приT₁ >> T₂), запаздывающее звено (W(p) = e ^{- pT}), воспроизводящее входное воздействие с запаздыванием по времени и другие.

Лекция 6.Частотные характеристики

6.1. Понятие частотных характеристик

Если подать на вход системы с передаточной функцией W(p) гармонический сигнал

то после завершения переходного процесса на выходе установится гармонические колебания

с той же частотой , но иными амплитудой и фазой, зависящими от частоты возмущающего воздействия. По ним можно судить о динамических свойствах системы. Зависимости, связывающие амплитуду и фазу выходного сигнала с частотой входного сигнала, называютсячастотными характеристиками(ЧХ). Анализ ЧХ системы с целью исследования ее динамических свойств называетсячастотным анализом.

Подставим выражения для u(t)иy(t)в уравнение динамики

(aоpⁿ + a₁pn - 1 + a₂p^{n - 2} + ... + a_n)y = (bоp^m + b₁p^m-1 + ... + b_m)u.

 Учтем, что

а значит

pnu = pnU_mejwt = U_m (jw)nejwt = (jw)nu.

Аналогичные соотношения можно записать и для левой части уравнения. Получим:

По аналогии с передаточной функцией можно записать:

.

W(j), равная отношению выходного сигнала к входному при изменении входного сигнала по гармоническому закону, называетсячастотной передаточной функцией. Легко заметить, что она может быть получена путем простой замены p на jв выражении W(p).

W(j) есть комплексная функция, поэтому: