Файл: kurs-lekcij-po-tau.doc

Это графоаналитические методы, позволяющие по виду частотных характеристик САУ судить об их устойчивости. Их общее достоинствов простой геометрической интерпретации, наглядности и в отсутствии ограничений на порядок дифференциального уравнения.

9.1. Принцип аргумента

Запишем характеристический полином САУ в виде

D(p) = a₀(p - p₁)(p - p₂)...(p - p_n) = 0.

Его корни

p_i = _i + ji = |p_i|e^jarg(pi),

где arg(p_i) = arctg(i/a_i) + k,

Каждый корень можно изобразить вектором на комплексной плоскости (рис.68а), тогда разность p - p_iизобразится разностью векторов (рис.68б), гдеp - любое число.

Еcли менять значение p произвольным образом, то конец вектора p - p_iбудет перемещаться по комплексно плоскости, а его начало будет оставаться неподвижным, так какp_i- это конкретное неизменное значение.

В частном случае, если на вход системы подавать гармонические колебания с различной частотой , тоp = j, а характеристический полином принимает вид:

D(j) = a₀(j - p₁)(j - p₂)...(j - p_n).

При этом концы векторов j- p_iбудут находиться на мнимой оси (рис.68в). Если менять от- до+ , то каждый векторj- p_i будет поворачиваться относительно своего началаp_iна угол +pдля левых и- pдля правых корней (рис.68г).

Характеристический полином можно представить в виде

D(j) = |D(j)|e^jarg(D(j)),

где |D(j)| = a₀|j- p₁||j- p₂|...|j- p_n|,

arg(D(j)) = arg(j - p₁) + arg(j - p₂) + .. + arg(j- p_n).

Пусть из n корнейm- правые, аn - m- левые, тогда угол поворота вектораD(j)при изменении от- до +равен

= (n - m)- m,

или при изменении от0до +получаем

= (n - 2m)(/2).

Отсюда вытекает правило: изменение аргумента вектора b при изменении частоты от -до +равно разности между числом левых и правых корней уравненияD(p) = 0, умноженному на , а при изменении частоты от0до +эта разность умножается на /2.

Это и есть принцип аргумента. Он положен в основе всех частотных критериев устойчивости. Мы рассмотрим два наиболее распространенных критерия: критерий Михайлова и критерий Найквиста.

9.2. Критерий устойчивости Михайлова

Так как для устойчивой САУ число правых корней m = 0, то угол поворота вектораD(j)составит

= n/2.

То есть САУ будет устойчива, если вектор D(j)при изменении частоты от 0 до +повернется на уголn/2.

При этом конец вектора опишет кривую, называемую годографом Михайлова. Она начинается на положительной полуоси, так какD(0) = a_n, и последовательно проходит против часовой стрелки n квадрантов комплексной плоскости, уход в бесконечность вn- ом квадранте (рис.69а).

Если это правило нарушается (например, число проходимых кривой квадрантов не равно n, или нарушается последовательность прохождения квадрантов (рис.69б)), то такая САУ неустойчива - это и естьнеобходимое и достаточное условие критерия Михайлова.

Достоинства. Этот критерий удобен своей наглядностью. Так, если кривая проходит вблизи начала координат, то САУ находится вблизи границы устойчивости и наоборот. Этим критерием удобно пользоваться, если известно уравнение замкнутой САУ.

Для облегчения построения годографа Михайлова выражение для D(j)представляют суммой вещественной и мнимой составляющих: