Файл: Теория игр для экономистов doc.doc

№44. Частный предприниматель должен сделать закупку товара (зонтов и солнцезащитных очков) на сумму 70 тыс. руб. Прибыль предпринимателя зависит от выбранной им стратегии и преобладающей погоды и задана платежной матрицей:

Товар Погода	солнце	дождь
зонты	-1	2
солнцезащитные очки	1	-2

На какую сумму предприниматель закупит каждого товара?

Ответ: Предприниматель потратит по 35 тыс. руб. на зонты и солнцезащитные очки.

№45. Фермер распределяет посевную площадь 70 га между двумя культурами (засухоустойчивой и влагоустойчивой). Прогноз на лето не определен (лето может быть либо засушливым, либо дождливым). Прибыль фермера зависит от выбранной им стратегии и преобладающей погоды летом и задана платежной матрицей:

Культура Лето	засушливое	дождливое
засухоустойчивая	1	-3
влагоустойчивая	-2	1

Найти распределение площади между культурами, оптимальное для фермера.

Ответ: Оптимальным для фермера будет занять 30 га посевной площади под засухоустойчивую культуру и 40 га – под влагоустойчивую.

Задания для самостоятельного решения.

№46. Предприятие может выпускать три вида продукции (A₁, A₂, A₃), получая при этом прибыль, зависящую от спроса, который может быть в одном из четырех состояний (B₁, B₂, B₃, B₄). Дана матрица, элементы которой характеризуют прибыль, которую получит предприятие при выпуске i-й продукции с j-м состоянием спроса.

А В	B₁	B₂	B₃	B₄
A₁	3	3	6	8
A₂	9	10	4	2
A₃	7	7	5	4

Определить оптимальные пропорции в выпускаемой продукции, гарантирующие среднюю величину прибыли при любом состоянии спроса, считая его неопределенным.

№47. Найти наилучшую стратегию по критерию Лапласа, Вальда, Сэвиджа, Гурвица для игры, заданной платежной матрицей: .

№48. Найти наилучшую стратегию по критерию Лапласа, Вальда, Сэвиджа, Гурвица для игры, заданной платежной матрицей: .

Равновесие Нэша.

Задания для практических занятий.

№49. Найти равновесие по Нэшу либо в чистых, либо в смешанных стратегиях в биматричной игре: .

Ответ: и- чистые стратегии;- смешанные стратегии игрока А;- смешанные стратегии игрока В.

№50. Найти равновесие по Нэшу либо в чистых, либо в смешанных стратегиях в биматричной игре: .

Ответ: - смешанные стратегии игрока А;- смешанные стратегии игрока В.

№51. Найти равновесие по Нэшу либо в чистых, либо в смешанных стратегиях в биматричной игре: .

Ответ: - смешанные стратегии игрока А;- смешанные стратегии игрока В.

№52. Найти равновесие по Нэшу либо в чистых, либо в смешанных стратегиях в биматричной игре: .

Ответ: и- чистые стратегии;- смешанные стратегии игрока А;- смешанные стратегии игрока В.

№53. Найти равновесие по Нэшу либо в чистых, либо в смешанных стратегиях в биматричной игре: .

Ответ: и- чистые стратегии;- смешанные стратегии игрока А;- смешанные стратегии игрока В.

Задания для самостоятельного решения.

№54. Найти равновесие по Нэшу либо в чистых, либо в смешанных стратегиях в биматричной игре: .

№55. Найти равновесие по Нэшу либо в чистых, либо в смешанных стратегиях в биматричной игре: .

№56. Найти равновесие по Нэшу либо в чистых, либо в смешанных стратегиях в биматричной игре: .

№57. Найти равновесие по Нэшу либо в чистых, либо в смешанных стратегиях в биматричной игре: .

№58. Найти равновесие по Нэшу в чистых, или в смешанных стратегиях в биматричной игре: .

№59. Найти равновесие по Нэшу либо в чистых, либо в смешанных стратегиях в биматричной игре: .

Кооперативные решения

№60. В некотором районе имеется три предприятия, каждое из которых нуждается в проводке теплоцентралей. Предприятия могут провести теплоцентрали отдельно друг от друга, а могут объединиться в группы – коалиции. Если предприятие i=1.2.3 прокладывает централь самостоятельно, то затраты составят 100, 200, 300 единиц соответственно. Если 1-е и 2- предприятие объединяться, то их общие затраты составят 250 единиц. Если 1-е и 3-е объединяться, то затраты составят 350 единиц. Если 2-е и 3-е объединятся, то затраты составят 460 единиц. Если все три предприятия объединяться, то затраты составят 580 единиц. Найти все решения, которые могут принять предприятия как рациональные субъекты.

Решение.

Возможны следующие коалиции:

– первое предприятие;

– второе предприятие;

– третье предприятие;

– первое и второе;

– первое и третье;

– второе и третье;

– первое, второе и третье

Обозначим – суммарные затраты на проводку теплоцентралей коалициейK. получим, что – затраты на проведение теплоцентралейi-м предприятием , если оно действует в одиночку.

Рассмотрим условия, при которых первому и второму предприятию выгодно объединиться в коалицию . Общие затраты=250 будут поделены между первым и вторым предприятиями (необязательно поровну). Обозначим– затраты первого предприятия,– затраты второго предприятия. Очевидно, что

(3.1)

Каждое предприятие сопоставляет свои затратыс теми затратами, которые оно понесло, если бы не вступило в коалицию. Для обоих предприятий условием вступления каждого из них в коалицию будет выполнение следующих неравенств:

(3.2)

Необходимым условием для этого служит неравенство:

(3.3)

Неравенство выполняется, т.к. 250<100+200.

Так же справедливы неравенства 350<100+300, 460<200+300, поэтому могут возникнуть все коалиции ,и.

При каких условиях возможна коалиция, состоящая из всех трех предприятий?

Пусть – затраты каждого из предприятия в коалиции т.е.

(3.4)

Условием, при котором коалиции будет выгодно принять к себе 3-е предприятие, и при этом вхождение в коалицию будет выгодно 3-му предприятию, будет система неравенств

(3.5)

(3.6)

Из системы следует, что + 300≥v(). Это неравенство не выполняется, т.к. 250+300<580. Аналогично можно сравнить коалицию с двумя другими попарными коалициями.Следовательно, коалиция менее выгодна участникам, чем любые попарные коалиции.