Файл: Теория игр для экономистов doc.doc

§2.1.7. Критерии оптимальности решения в условиях неопределённости

Рассмотрим задачу принятия решения, когда на стадии принятия решения ЛПР знает:

а) возможные состояния среды: у₁, у₂,..у_n Є Y – множество состояний окружающей среды.

б) результат, к которому приведёт выбор альтернативы х Є Х для каждого возможного состояния среды: у₁, у₂,..у_n, т. е. знает функцию выигрыша (проигрыша): f(х,y) для всех х Є Х, у = Y.

Х – множество альтернатив

Y – множество состояний среды

При этом ЛПР не располагает информацией о том, как распределены вероятности состояний среды и даже не знает, какие из этих состояний более вероятны. Такая ситуация принятия решений определяется как структурная неопределённость.

Задача выбора «наилучшего» решения требует определить критерий оптимальности. Очевидно, что широкое разнообразие жизненных и экономических ситуаций не может быть описано с помощью единственного критерия оптимальности, в математических моделях принятия решения предложены и исследованы несколько критериев оптимальности.

Сформулируем определение – что из себя должен представлять критерий оптимальности?

Для этого определения выделим следующие моменты:

1. Любой критерий оптимальности основан на определённых предположениях (гипотезах) о поведении окружающей среды.

2. Критерий оптимальности представляет собой правило выбора «наилучшего» решения.

Таким образом, критерий оптимальности – это правило выбора «наилучшего» решения в условиях неопределённости, основанное на определённых предположениях относительно поведения окружающей среды и предпочтений ЛПР.

При этом желательно, чтобы критерий оптимальности обладал свойствами, согласующимися со здравым смыслом и рациональностью. Чтобы пояснить, в чем состоит в данном случае рациональный подход, вспомним понятие доминируемости.

Пусть задача принятия решения характеризуется n-состояниями среды: у₁, у₂,..у_n и предусматривает выбор из m-альтернатив: х₁, х₂,..х_m. Причём для каждой пары (х_i, y_j) определено значение функции f(х_i, y_j).

Тогда задачу принятия решения можно описать с помощью платёжной матрицы (Таблица 7):

Таблица 7

Предположим, что для некоторых целых чисел i и k Є [1,m] выполняется условие: для любого j f(x_i,y_j) ≥ f(x_k,y_j).

В строке i результаты больше, чем в строке k. Следовательно, стратегия x_i доминирует стратегию x_k, x_k – доминируемая стратегия.

Очевидно, что доминируемые стратегии (или альтернативы) заведомо хуже других, а доминирующие заведомо лучше. Отсюда следует, что первый принцип, которому должен удовлетворять критерий оптимальности, это принцип доминирования.

a) Принцип доминирования:

- если существует доминирующая стратегия, то критерий оптимальности должен обеспечивать выбор именно этой стратегии;

- если существуют доминируемые стратегии, то их удаление и введение не должно влиять на выбор наилучшей стратегии.

Так же очевиден смысл двух других принципов:

b) Перенумерация альтернатив (нумерация строк) и/или состояний среды (нумерация столбцов) не должна влиять на выбор наилучшей стратегии.

c) Предположим, что ко всем значениям функции выигрыша добавлено число а: f(x_i,y_j) + a. Очевидно, что критерий оптимальности должен обеспечивать выбор наилучшей стратегии, которая не зависит от прибавления аддитивной постоянной к функции выигрыша.

Рассмотрим наиболее часто применяемые критерии оптимальности.

§2.1.8 Критерий Лапласа

Критерий Лапласа основан на гипотезе, согласно которой все состояния среды реализуются с одинаковыми вероятностями.

Если возможна реализация 2-х состояний А и В и нет никакой информации об их вероятностях, то естественно предполагать, что:

Р(А) = Р(В) = ½.

Если среда может принимать состояния у₁, у₂,..у_n и нет информации о вероятностях этих значений, то естественно предполагать:

Р(у₁) = Р(у₂) = ...= Р(у_n) = 1/n.

Пусть для задачи принятия решения, заданной Таблицей 1, принята гипотеза равной возможности. Для каждой стратегии x_i определим значение функции L (x_i):

L (x_i) = 1/n*∑ f(x_i,y_j) (1.32)

Получим L(x₁), L(x₂),.. L(x_n) – среднеарифметические выигрыши для каждой стратегии.

Выбираемая стратегия x_i: L(x_l) ≥ L(x_i) (1.33)

Пример: Найти наилучшую стратегию по критерию Лапласа для задачи принятия решения, заданной платёжной матрицей Таблица 8:

Таблица 8

Легко показать, что критерий Лапласа удовлетворяет всем 3-м условиям, определённым в пункте 2.1.1.

Тем не менее, у критерия Лапласа есть недостаток: по критерию Лапласа может быть выбрана рискованная стратегия.

Маленькие значения выигрыша при нахождении среднего перекрываются большими – эффект компенсации.

§2.1.9. Критерий Вальда (максиминный критерий)

Выбор критерия Вальда основан на гипотезе, согласно которой ЛПР стремится получить гарантированный результат при любом состоянии среды.

Пример: Найти наилучшую стратегию по критерию Вальда для задачи принятия решения, заданной платёжной матрицей Таблица 9:

Таблица 9

Решение. Найдём выбор по принципу максимина: для любого i min f(x_i,y_j) = a_i – худший результат при выборе i.

maxmin f(x_i,y_j) = max a_i = K.

Легко показать, что критерий Вальда удовлетворяет всем 3-м условиям, определённым в пункте 2.1.1.

Недостаток этого критерия: критерий Вальда отвергает хорошие гипотезы из-за своего крайнего пессимизма.

§2.1.10. Критерий Гурвица (критерий взвешенного оптимизма /пессимизма)

В основе этого критерия лежит гипотеза о том, что уровень пессимизма ЛПР принимает некоторое значение α: 0 ≤ α ≤ 1. Чем больше α, тем пессимистичнее настроен ЛПР. Для каждой строки x_i определяется:

- число а_i = min f((x_i,y_j);

- число b_i = max f((x_i,y_j).

Затем для каждого значения x_i и α рассчитывается число:

H(x_i, α ) = α* а_i + (1- α)* b_i

и выбирается max H(x_i, α ) = h(α).

Пример 3: Для Примера 2 найти наилучшую стратегию по критерию Гурвица, при значении α = ½ Таблица 10.

Таблица 10