Файл: Информатика и КГ_2014.doc

№ п/п	а₁₁	а₁₂	а₁₃	а₂₁	а₂₂	а₂₃	а₃₁	а₃₂	а₃₃	b₁	b₂	b₃
1	6	– 3	1	4	8	– 2	7	– 1	9	1.2	1.3	1.4
2	5	– 2	1	1	– 4	– 1	2	– 1	4	1.7	1.6	1.9
3	4	1	– 1	1	– 5	1	2	– 3	6	6.2	2.4	1.8
4	8	2	– 1	1	10	5	2	– 1	– 4	2.3	1.4	1.7
5	5	0.3	0.1	0.2	2	0.8	0.4	0.4	2	7.2	8.3	6.6
6	3	0.6	– 1	0.8	3	1.2	1	0.8	2.6	0.2	– 3	2.7
7	1	0.1	0.1	0.2	1	0.3	0.3	0.4	1	1.5	1.6	1.7
8	4	1.2	1	1.5	2.8	0.7	1	1.5	3.5	7.1	7.7	4.2
9	2.1	– 2	0.3	0.7	1.9	0.6	0.3	0.7	1.5	1.6	0.9	3.5
10	3.1	– 2	0.5	0.8	2.7	– 1	0.5	– 1	2.1	1.3	4	2.3
11	0.1	0.3	0.4	0.2	0.1	0.6	0.4	0.2	0.3	0.7	0.5	0.6
12	4	– 1	2	1	– 5	3	2	1	– 8	1.8	2.5	0.3
13	7.1	– 2	0.7	0.7	3.5	8.4	5.5	5.6	1.3	7.7	0.1	4.5
14	2.5	0.2	0.1	0.1	1	0.4	0.2	0.2	1	3.6	4.2	3.3
15	1.6	0.7	0.2	0.1	– 2	0.5	1	0.2	2.5	1.9	2.6	2.3

21. Математические модели и оптимизация процессов

21.1. Модель одномерного объекта

Пусть в результате проведения эксперимента получена табличная зависимость значений выходного параметра процесса y от значений входного параметра x (рис. 21.1).

Объект

Рис. 21.1. Одномерный объект

Требуется получить эмпирическую формулу, описывающую зависимость y от x. Решение такой задачи состоит из двух этапов.

На первом этапе выбирается общий вид формулы, исходя из теоретических представлений о характере изучаемого процесса. Это может быть, например, полином m-степени:

y = a0 + a1  x + a2  x² +…+ am  x^m.

Формула может содержать тригонометрические, экспоненциальные, логарифмические функции и т. п.

На втором этапе определяются значения параметров a0, a1, …, am эмпирической формулы f(x, a0, a1, a2, …, am), которые обеспечивали бы соответствие этой формулы экспериментальным данным.

В соответствии с методом наименьших квадратов параметры a0, a1, …, am выбираются так, чтобы была минимальной сумма квадратов:

Чтобы найти нужные параметры, следует взять частные производные от правой части по a0, a1, …, am и приравнять их к нулю. Полученную систему уравнений можно решить одним из известных методов.

Пример. Пусть требуется определить параметры a0, a1, a2 полинома второй степени:

y = a0 + a1x + a2x².

Надо взять частные производные от выражения

и приравнять их к нулю:

Отсюда

Решив эту систему линейных урвнений можно определить искомые величины a0, a1, a2.

Рассмотрим алгоритм метода наименьших квадратов для вычисления коэффициентов полинома второй степени:

1. Ввод количества опытов n, значений x₁, x₂, …, x_n, y₁, y₂, …, y_n.

2. Определение коэффициентов системы линейных уравнений:

a_1,2 = a_1,3 = a_2,3 = a_3,3 =

b₁ = , b₂ = b₃ =

a_1,1 = n, a_2,1 = a_1,2, a_2,2 = a_1,3, a_3,1 = a_1,3, a_3,2 = a_2,3.

3. Решение системы A  Z = B, где A – матрица коэффициентов, B – вектор свободных членов системы, Z – вектор, в котором определяются корни z₁ = a0, z₂ = a1, z₃ = a2.

4. Вывод искомых коэффициентов a0, a1, a2.

5. Определение и вывод разностей ₁, ₂, …, _n.

21.2. Получение математических моделей в приложениях Mathcad и Excel

В приложении Mathcad можно записать формулы приведенного выше алгоритма и вычислить коэффициенты функциональной зависимости.

Существуют также и встроенные функции для определения математических моделей. Например, пусть имеются значения х и у, полученные в результате проведения опытов. Надо найти математическую модель в виде полинома второй степени:

y = a0 + a1  x + a2  x²

Можно использовать для решения задачи встроенную функцию linfit. На листе Mathcad тогда нужно записать:

А:= linfit(Х, Y, F)

Вычисленные значения a0, a1, a2 будут записаны в векторе А, который появится после ввода текста: A =

Для построения графика теперь можно определить значения:

i := 0..5 t := 0, 0.01..1 Z(t) := F(t)*A

Здесь Z(t) − искомая математическая модель. Если построить на одном графике зависимость Z(t) от t и зависимость Y_i от X_i, то можно сравнить, насколько хорошо полученный полином описывает данные опытов.

В приложении Excel предоставляется интересная возможность получения математических моделей через построение графиков функций.

Пусть имеются значения x₁, x₂, …, x_n и соответствующие им значения y₁, y₂, …, y_n. Надо для этих данных построить точечный график и выполнить команду Диаграмма/Добавить линию тренда. В появившемся окне на вкладке Тип определить вид математической модели, а на вкладке Параметры отметить флажок Показывать уравнение на диаграмме. После нажатия <ОK> искомое уравнение появится на графике.

21.3. Модель многомерного объекта

Предположим, что технологический процесс можно описать математической моделью вида

y = b₀ + b₁x₁ +…+ b_nx_n + b₁₂x₁x₂ +…+ b_n_–1,_nx_n_–1x_n,

где y – выходной параметр процесса; b₀, b₁, …, b_n_–_1,_n – искомые неизвестные коэффициенты процесса; x₁, …, x_n – входные параметры процесса.

Соотношения такого вида называются уравнениями регрессии.

Например, для процесса (рис. 21.2), имеющего три входных параметра (фактора), математическая модель примет вид

y = b₀ + b₁  x₁ + b₂  x₂ + b₃  x₃ + b₁₂  x₁  x₂ + b₁₃  x₁  x₃ + b₂₃  x₂  x₃.

Чтобы определить коэффициенты математической модели процесса необходимо провести эксперимент по соответствующему плану, например по плану полного факторного эксперимента.

Рис. 21.2. Многомерный объект

оличество опытов в эксперименте рассчитывается по формулеN = 2ⁿ, где n – количество факторов. Входные воздействия принимают минимальные и максимальные значения. Для упрощения вычислений нужно перейти от физических переменных x₁, …, x_n к кодированным по следующей формуле:

z_i = , i = 1, 2, 3.

Здесь x_i0 – значение фактора на базовом (нулевом) уровне, равное среднему значению между минимальным и максимальным значениями; ∆x_i – интервал варьирования по данному фактору.

В случае трех входных параметров план проведения эксперимента имеет вид, представленный на рис. 21.3.

№ п/п	z1	z2	z3	уэ
1	–1	–1	–1	уэ₁
2	+1	–1	–1	уэ₂
3	–1	+1	–1	уэ₃
4	+1	+1	–1	уэ₄
5	–1	–1	+1	уэ₅
6	+1	–1	+1	уэ₆
7	–1	+1	+1	уэ₇
8	+1	+1	+1	уэ₈