Файл: Информатика и КГ_2014.doc

где Sb – среднеквадратичная ошибка в определении коэффициентов регрессии; t_Т – табличное значение критерия Стьюдента, которое выбирается для числа степеней свободы f1 = m – 1.

Для расчета дисперсии воспроизводимости нужно выполнить дополнительно m опытов (m < N) по любой строчке плана, например, при значениях входных факторов на базовом уровне.

В результате получаются дополнительные значения экспериментальных данных yd₁, yd₂, …, yd_m.

Тогда

Sy² = , yoc = , k = 1, …, m.

В табл. 21.1 приведены значения критерия Стьюдента.

Таблица 21.1

Значения критерия Стьюдента

Число степеней свободы f1	1	2	3	4	5	6	7
Значение коэффициента	12.71	4.30	3.18	2.78	2.57	2.45	2.36

Если коэффициент не удовлетворяет критерию Стьюдента, то он считается незначимым и приравнивается к нулю.

Проверка адекватности (соответствия) полученного уравнения регрессии экспериментальным данным проводится с помощью критерия Фишера. Для этого вычисляются

, F = ,

где – оценка дисперсии адекватности; B – число значимых коэффициентов уравнения регрессии; yэ_j, yp_j – экспериментальное и рассчитанное по найденной математической модели значения y в j-м опыте.

Определяется также табличное значение критерия Фишера F_Т из табл. 21.2 по числу степеней свободы f1 и числу степеней свободы f2 = N – B.

Если F < F_Т, то уравнение регрессии рассматривается как модель исследуемого процесса.

Таблица 21.2

Коэффициенты критерия Фишера

Число степеней свободы f1	Число степеней свободы f2
Число степеней свободы f1	1	2	3	4	5	6
1	161.40	199.50	215.70	224.60	320.20	234.00
2	18.51	19.00	19.16	19.25	19.30	19.33
3	10.13	9.55	9.28	9.12	9.01	8.94
4	7.71	6.94	6.59	6.39	6.26	6.16
5	6.61	5.79	5.41	5.19	5.05	4.95
6	5.99	5.14	4.76	4.53	3.39	4.28
7	5.99	4.74	4.35	4.12	3.97	3.97

Если полученное уравнение не адекватно процессу, то нужно перейти к более сложному виду математической модели, вновь провести опыты и обработать их результаты.

Если уравнение адекватно процессу, то нужно от кодированных переменных перейти к физическим.

21.4. Задание для выполнения на компьютере

В табл. 21.3 приведены значения входных и выходных параметров некоторого процесса. В качестве эмпирической формулы выбрать полином второй степени и составить программу получения его коэффициентов. Номер варианта определяет преподаватель.
Определить коэффициенты математической модели процесса в виде полинома второй степени с помощью приложений Mathcad и Excel. Результаты сравнить между собой.

Таблица 21.3

Исходные данные для расчета

№ п/п	Переменные	Значения переменных
1	x	2.1	2.7	3.3	3.8	4.2	4.9	5.6	6.1	6.8
1	y	1.2	1.6	2.1	2.4	2.5	2.8	3.4	3.8	4.0
2	x	0.2	0.7	1.1	1.6	2.2	2.3	3.0	3.9	4.3
2	y	6.3	10.6	14.2	15.7	15.9	15.5	12.5	5.0	0.2
3	x	–5.0	–4.2	–3.5	–2.8	–1.9	–1.2	–0.3	0.8	1.3
3	y	8.8	4.3	1.8	–0.2	–0.8	–0.5	1.8	7.6	12.2
4	x	0.0	0.6	1.3	1.8	2.7	3.1	3.9	4.2	5.1
4	y	10.2	8.2	6.0	5.1	1.5	0.8	–1.6	–2.8	–5.5
5	x	–0.4	–3.5	–2.4	–2.0	–0.8	0.5	1.4	2.5	3.8
5	y	–1.6	–1.4	–1.1	–0.9	–0.7	–0.5	–0.4	–0.2	0.1
6	x	3.1	3.7	4.3	4.8	5.2	5.9	6.6	7.1	7.8
6	y	1.2	1.6	2.1	2.4	2.5	2.8	3.4	3.8	4.0
7	x	0.2	0.7	1.1	1.6	2.2	2.3	3.0	3.9	4.7
7	y	6.3	9.6	13.2	14.7	14.9	14.5	11.5	4.0	2.1
8	x	–3.0	–2.2	–1.5	–1.1	–0.9	–0.2	0.3	0.8	1.3
8	y	8.8	4.3	1.8	–0.2	–0.8	–0.5	1.8	7.6	12.2
9	x	0.0	0.6	1.3	1.8	2.7	3.1	3.9	4.2	5.1
9	y	12.2	9.2	8.0	7.1	0.5	0.8	–2.6	–3.8	–6.5
10	x	–5.4	–3.5	–2.4	–2.0	–0.8	0.5	1.4	2.5	3.4
10	y	–1.6	–1.1	–0.8	–0.7	0.7	1.4	2.1	3.2	3.9
11	x	4.1	5.7	6.3	6.8	7.2	7.9	8.6	9.1	9.8
11	y	1.2	1.6	2.1	2.4	2.5	2.8	3.4	3.8	4.0
12	x	0.2	0.7	1.1	1.6	2.2	2.3	3.0	3.9	4.3
12	y	7.3	11.6	16.2	17.7	17.9	15.5	12.5	5.0	0.2
13	x	–3.0	–2.2	–1.5	–0.8	0.2	0.3	1.3	1.8	2.3
13	y	8.8	4.3	1.8	–0.2	–0.8	–0.5	1.8	7.6	12.2
14	x	0.0	0.6	1.3	1.8	2.7	3.1	3.9	4.2	5.1
14	y	20.2	28.2	26.0	25.1	21.5	20.8	11.6	12.8	15.5
15	x	0.4	1.5	2.4	2.8	3.1	4.5	5.4	5.5	6.8
15	y	–1.6	–1.3	–1.0	–0.8	–0.7	–0.4	–0.2	–0.2	0.3

22. Методы оптимизации

Задачу оптимизации в общем виде можно сформулировать так: определить значения входных параметров x₁, x₂, …, x_n некоторого процесса, которые обеспечивают максимум или минимум целевой функции f(x₁, x₂, …, x_n), характеризующей показатели процесса, и удовлетворяют ограничениям, если они присутствуют.

22.1. Метод сканирования

Рассмотрим использование метода сканирования на примере для оптимизации процесса, имеющего два входных параметра x₁, x₂ и выходной параметр – y . Пусть требуется определить оптимальные значения x₁ и x₂, которые обеспечивали бы минимум целевой функции

y = f(x₁, x₂)

и удовлетворяли ограничениям:

a1 <= x₁ <= b1, a2 <= x₂ <= b2

g(x₁, x₂) > 0

(последнее ограничение может отсутствовать).

Метод сканирования заключается в нахождении значений x₁из интервала [a1, b1], начиная с a1 и до b1 с шагом h1 и определении значений x₂ из интервала [a2, b2], начиная с a2 и до b2 с шагом h2. Для всех значений x₁ и x₂, удовлетворяющих ограничениям g(x₁, x₂) > 0, нужно вычислить значения целевой функции y = f(x₁, x₂).