Файл: Информатика и КГ_2014.doc

№ п/п	Математическая модель
1	y = 48,94 + 9,29x₁ – 3,26x₂ + 8,41x₃ – 0,76x₁x₂ – 2,44x₁x₃ – 8,24x₂x₃
2	y = 21,93 + 4,56x₁ + 7,76x₃ – 0,69x₁x₂ – 0,44x₂x₃
3	y = 23,63 + 4,65x₁ – 2,15x₂ + 5,68x₃ – 1,03x₁x₂ – 5,6x₂x₃
4	y = 75,78 + 5,13x₁ + 7,15x₃ – 0,65x₁x₃ – 3,58x₂x₃
5	y = 21,77 + 2,97x₁ + 4,23x₃ – 0,51x₁x₂ – 2,1x₂x₃
6	y = 3,59 + 0,69x₁ – 1,36x₂ + 0,66x₃ + 0,26x₁x₃
7	y = 40,28 + 8,98x₁ – 3,27x₂ + 10,95x₃ – 0,68x₁x₂ – 1,71x₁x₃ – 8,65x₂x₃
8	y = 2100 – 665,4x₁ – 242,9x₁x₂ + 115,4x₁x₃ – 67,1x₂x₃
9	y = 26,36 + 0,89x₁ – 2,01x₂ + 1,89x₃ – 1,19x₁x₂ + 1,01x₂x₃
10	y = 48,43 + 8,98x₁ – 3,3x₂ + 8,7x₃ – 1,35x₁x₂ – 1,85x₁x₃ – 8,13x₂x₃
11	y = 22,73 + 4,65x₁ – 1,28x₂ + 10,08x₃ – 0,95x₁x₂ + 0,55x₁x₃ – 1,48x₂x₃
12	y = 34,67 + 6,18x₁ + x₂ + 10,45x₃ + 1,95x₁x₂ – 2,5x₁x₃ – 5,28x₂x₃
13	y = 23,8 + 4,68x₁ – 2,13x₂ + 5,68x₃ – 0,95x₁x₂ – 0,45x₁x₃ – 5,6x₂x₃
14	y = 18,14 + 3,69x₁ – 1,09x₂ + 5,44x₃ – 0,14x₁x₂ – 1,16x₁x₃ – 3,89x₂x₃
15	y = 16,79 + 0,61x₁ – 3,2x₂ + 0,41x₃ – 0,6x₁x₂ – 0,2x₁x₃ – 0,24x₂x₃

23. Решение дифференциальных уравнений

23.1. Решение уравнений первого порядка

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка:

Требуется найти решение на интервале [x₀, x_n], удовлетворяющее начальному условию y(x₀) = y₀.

Для приближённого решения дифференциального уравнения интервал [x₀, x_n] разбивается на n частей с шагом h:

x_i₊₁ = x_i + h, i = 0, 1, 2, …, n – 1.

В полученных точках вычисляются значения y_i.

Метод Эйлера. Согласно методу Эйлера, значения y_i определяются по формуле:

y_i+1 = y_i + h  f(x_i, y_i).

Алгоритм метода Эйлера:

1. Ввод n, конечного значения x_n, начального значения x₀ (в переменную x), ввод y₀ (в переменную y).

2. Вычисление h = , x = x₀, y = y₀.

3. Вывод x, y.

4. Вычисление y = y + h  f(x, y), x = x + h.

5. Если x > x_n, то переход к п. 6, иначе – переход к п. 3.

6. Конец вычислений.

Для получения достоверных результатов значение h должно быть достаточно мало, при этом можно не выводить все получающиеся значения x и y. Целесообразно внести изменения в алгоритм программы так, чтобы вычисления проводились с малым шагом, а вывод результатов − с большим.

Метод Рунге-Кутта. Расчетные формулы метода Рунге-Кутта четвертого порядка имеют вид:

k1 = h  f(x_i, y_i),

k2 = h  f(x_i + , y_i + ),

k3 = h  f(x_i + , y_i + ),

k4 = h  f(x_i + h, y_i + k3),

y_i+₁ = y_i +  (k1 + 2  k2 + 2  k3 + k4),

x_i₊₁ = x_i + h, i = 0, 1, 2, …, n – 1.

Для разработки программы, реализующей метод Рунге-Кутта можно использовать тот же алгоритм, что и для метода Эйлера, внеся в него соответствующие изменения.

23.2. Системы дифференциальных уравнений и уравнения высших порядков

Система дифференциальных уравнений m-го порядка имеет вид:

Для решения системы на отрезке [x₀, x_n] должны быть заданы начальные условия: y1(x₀) = y₁⁰, y2(x₀) = y₂⁰ , …, ym(x₀) = y_m⁰. Решением системы m-го порядка будут m функций, удовлетворяющих начальным условиям. Чтобы определить эти функции можно использовать метод Эйлера или Рунге-Кутта (или любой другой метод), применяя их к каждому уравнению последовательно.

Уравнения высших порядков сводятся к системам дифференциальных уравнений путем введения новых переменных.

Пример. Требуется решить уравнение y +2  y – y + 4  x = 5 на отрезке [1; 1.3]. Начальные условия: y(1) = 2, y(1) = 0. Шаг h = 0.1. Здесь шаг выбран большим, чтобы было проще продемонстрировать вычисления, сделанные вручную.

Введем новую переменную z = y. Тогда исходное уравнение записывается в виде системы двух уравнений первого порядка:

y = z,

z = –2  z + y – 4  x + 5.

Начальные условия: y(1) = 1, z(1) = 0. Решим данную систему методом Эйлера:

y(1.1) = 2 + 0.10 = 2,

z(1.1) = 0 + 0.1  (–2  0 + 2 – 4  1 + 5) = 0.3,

x = 1 + 0.1 = 1.1,

y(1.2) = 2 + 0.1  0.3 = 2.03,

z(1.2) = 0.3 + 0.1  (–2  0.3 + 2 – 4  1.1 + 5) = 0.5,

x = 1.1 + 0.1 = 1.2,

y(1.3) = 2.03 + 0.1  0.5 = 2.08,

z(1.3) = 0.5 + 0.1  (–2  0.5 + 2.03 – 4  1.2 + 5) = 0.623,

x = 1.2 + 0.1 = 1.3.

Решение: x = 1, y = 2, z = 0.

x = 1.1, y = 2, z = 0.3.

x = 1.2, y = 2.03, z = 0.5.

x = 1.3, y = 2.08, z = 0.623.

23.3. Решение дифференциальных уравнений в приложении Mathcad

В приложении Mathcad решить дифференциальное уравнение можно, записав формулы выбранного метода. Например, пусть имеется дифференциальное уравнение:

x₀ = 0, y₀ = 1, h = 0,1.

Для решения уравнения методом Эйлера надо на рабочем поле Mathcad записать:

h := 0.1, n := 3, i := 0..n,

x₀ := 0, y₀ := 1,

x_i₊₁ = x_i + h,

y_i₊₁ = y_i + h  (0.2  y_i + x_i).

Для получения численных значений записываются выражения: x= и y = .

Имеются и встроенные функции для решения дифференциальных уравнений, например встроенная функция rkfixed.

Чтобы решить систему дифференциальных уравнений, приведенную выше, можно записать:

x1 := 1, x2:=1.3, Np:=20,

y₀ := 1, y₁ := 0,

R := rkfixed(y, x1, x2, Np, D).

Здесь x1, x2 – левая и правая границы интервала, на котором ищется решение; Np – число точек, в которых определяется решение; y₀,y₁ – начальные условия; D(x, y) – вектор правых частей системы. Для определения матрицы с решениями надо набрать R =

Можно также построить графики решения для различных значений i, характеризующие зависимость R(1, i) от R(0, i) и зависимость R(2, i) от R(0, i), т. е. зависимость y от x и зависимость z от x.

23.4. Задание для выполнения на компьютере

1. Решить дифференциальные уравнения, представленные в таблице. В приложении Excelдля дифференциального уравнения первого порядка на языкеVBAразработать программу решения методом Рунге-Кутта, а для системы дифференциальных уравнений − методом Эйлера.