Файл: posobie_po_informatike_Chast1_Word.doc

Найти частное решение y(x) дифференциального уравнения для своего варианта при произвольных начальных условиях и построить график решения. Варианты заданий приведены в табл.4.16.

Таблица 4.16

Варианты заданий

№ вар	Задание	№ вар	Задание	№ вар	Задание
1	y^III-13y^II+12y^I=0	11	y^III+y=0	21	4y^II+y=x
2	y^III-3y^II+3y^I-y=0	12	y^IV+8y^II+16y=0	22	2y^III-x y^I=cox x+y
3	y^IV-3y^II+y=0	13	y^IV+2y^III+y^II=0	23	7y^II+3y^I-2xy=0
4	y^IV-2y^III+y^II=e^x	14	y^III-y=x³-1	24	3y^II+y=sin²x
5	y^III+y^II=x²+1+3xe^x	15	y^IV+y^III=cos 4x	25	y^I+3y^II=xe^x
6	y^II-2y=2xe^x(cos x –sinx)	16	y^II+y=1/cos x	26	y^III-3y^II=y+x²
7	y^II+y=2x cos x cos 2x	17	x² y^II+x y^I-y=x²	27	(x+5)y^III+3y^I=x+1
8	(x+1)y^II+x(y^I)²=y^I	18	(1+y y^I)y^II=1+(y^I)²	28	y^II+3y^I=cos x+2
9	2y^I+e^x y^II=3-x	19	(1+y)y^II+3=2sin 2x	29	y^III+y^II-3y^I=y+x ln x
10	2y^II-3x y^I+7y=(x+1)²	20	y^II-(1+y)y^I=2+x²	30	y^III+2y^II=sin x

Задание 2

Решите систему дифференциальных уравнений для своего варианта на отрезке [0,3]. Выведите значения искомых функций и их производных в точке с координатой х=1.5. Варианты заданий приведены в табл.4.17.

Таблица 4.17

Варианты заданий

№ вар	Задание	№ вар	Задание
1	x^I=y-x²-x x(0)=0 y^I=3x-x²-y y(0)=1	16	x^I=sin y-x x(0)=0 y^I=x-y² y(0)=1
2	x^II=x-3y x(0)=0 x^I(0)=3 y^II=x+2y y(0)=1 x^I(0)=-1	17	x^II=x+3y x(0)=3 x^I(0)=5 y^II=2y-x y(0)=2 x^I(0)=-2
3	x^I= y-e^x x(0)=0 y^I= 2e^x-y y(0)=1	18	x^I=2y-x x(0)=0 y^I=cos x-2y² y(0)=1
4	x^II=5x-3y x(0)=-2 x^I(0)=5 y^II=3x+2y y(0)=2 x^I(0)=2	19	x^II=4x-3y x(0)=0 x^I(0)=1 y^II=x-2y y(0)=2 x^I(0)=-1
5	x^I=2y-x²+x x(0)=1 y^I=3x-y y(0)=1	20	x^II=2x-3y x(0)=0 x^I(0)=5 y^II=x-2y y(0)=2 x^I(0)=-1
6	x^I=2sin y+x² x(0)=0 y^I=3x-y²-y y(0)=1	21	x^I= y-xe^y x(0)=1 y^I= 2e^y-y y(0)=1
7	x^II=x-y x(0)=0 x^I(0)=5 y^II=x+3y y(0)=2 x^I(0)=-1	22	x^II=2x-y x(0)=0 x^I(0)=5 y^II=2y y(0)=-1 x^I(0)=2
8	x^I=2y-x² x(0)=0 y^I=3x-y²-y y(0)=-1	23	x^II=2x-3y+1 x(0)=0 x^I(0)=3 y^II=x-2 y(0)=2 x^I(0)=1
9	x^II=1+3y x(0)=0 x^I(0)=1 y^II=x-2y y(0)=2 x^I(0)=-1	24	x^I=y-x x(0)=0 y^I=cos x-y² y(0)=1
10	x^I=2y-2x²-2x x(0)=-1 y^I=3x²-y y(0)=0	25	x^I=y-3x x(0)=0 y^I=3x-x²-y y(0)=1
11	x^II=2-y x(0)=0 x^I(0)=5 y^II=x y(0)=2 x^I(0)=-1	26	x^I= 2y-e^x x(0)=0 y^I= e^x-y y(0)=1
12	x^I=sin y-x x(0)=0 y^I=cos x-y² y(0)=1	27	x^I=sin x-2y x(0)=0 y^I=3x-y² y(0)=1
13	x^I=3y-x² x(0)=0 y^I=2x-y² y(0)=1	28	x^I=y-x² x(0)=0 y^I=3x-y²-y y(0)=-1
14	x^I=y-2x²-2 x(0)=0 y^I=x-y² y(0)=-1	29	x^I=sin x-x x(0)=0 y^I=x-y² y(0)=1
15	x^I=y-x² x(0)=2 y^I=x-3y² y(0)=1	30	x^II=x-3y x(0)=0 x^I(0)=1 y^II=x-2y y(0)=2 x^I(0)=-1

Задание 3

Решить задачу, рассмотренную в пункте 8 с учетом данных своего варианта. Для вариантов 1 – 5: t_k=45с, для вариантов 6 – 10: t_k=40с, для вариантов 11 – 15: t_k=50с, для вариантов 16 – 20: t_k=55с, для вариантов 21 – 25: t_k=35с, для вариантов 26 – 30: t_k=30с.

Порядок выполнения работы.

Создать MathCad – документ и сохранить его под именем «Решение_дифф_уравнений_систем».
Выполнить задания в соответствии с данными своего варианта.

Содержание отчета.

В отчете по лабораторной работе должно быть дано описание методов решения дифференциальных уравнений и систем.

В отчет должен быть помещен сформированный на лабораторной работе MathCAD-документ “Решение_ дифф_уравнений_систем”.

Контрольные вопросы.

При помощи каких функций решаются нелинейные дифференциальные уравнения?
При помощи каких функций решаются системы дифференциальных уравнений?
Решить дифференциальное уравнение по заданию преподавателя.
Решить систему дифференциальных уравнений по заданию преподавателя.

Лабораторная работа № 25

Выполнение регрессии и проведение аппроксимации. Функции сглаживания данных и предсказания.

Цель работы: Научиться выполнять обработку данных с помощью методов регрессии и аппроксимации, заложенных в MathCad.

Теоретическая часть

Выполнение регрессии

Широко распространенной задачей обработки данных является представление их совокупности некоторой функцией y(x). Задача регрессии заключается в представлении параметров этой функции такими, чтобы функция приближала бы облако исходных точек (заданных векторами VX и VY) с наименьшей среднеквадратичной погрешностью.

Проведение линейной и сплайновой аппроксимаций

Для представления физических закономерностей и при проведении научно-технических расчетов часто используются зависимости вида y(x), причем число точек этих зависимостей ограничено. Неизбежно возникает задача приближенного вычисления значений функций в промежутках между узловыми точками (интерполяция) и за их пределами (экстраполяция). Эта задача решается аппроксимацией исходной зависимости, т. е. ее подменой какой-либо достаточно простой функцией. Система Mathcad представляет возможность аппроксимации двумя важными типами функций: кусочно-линейной и сплайновой.

Выполнение линейной регрессии

Чаще всего используется линейная регрессия, при которой функция y(x) имеет вид: y(x)=a+bx и описывает отрезок прямой.

Для проведения линейной регрессии в систему встроен ряд приведенных ниже функций:

corr(VX,VY) - возвращает скаляр - коэффициент корреляции Пирсона;

intercept(VX,VY) - возвращает значение параметра a (смещение линии регрессии по вертикали);

slope(VX,VY) - возвращает значение параметра b (угловой коэффициент линии регрессии).

На рис.70 показан пример проведения линейной регрессии для данных, представленных значениями элементов в векторах VX и VY.

Как видно из рисунка, прямая регрессия проходит в «облаке» исходных точек с максимальным среднеквадратичным приближением к ним. Чем ближе коэффициент корреляции к 1, тем точнее представленная исходными точками зависимость приближается к линейной.