Файл: Линейная Алгебра от 2 октября 2013.doc

Множество считают заданным, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству или не принадлежит. Множество можно задать следующими способами:

перечислением всех его элементов;
характеристическим свойством элементов множества;
порождающей процедурой.

Первый способ задания множеств применим только для конечных множеств, да и то при условии, что число элементов множества невелико. Если a, b, c, d – обозначения различных объектов, то множество A этих объектов записывают так: A = {a, b, c, d}. Запись читают: «A – множество, элементы которого a, b, c, d».

Замечание 1.2. Порядок перечисления элементов множества не имеет значения. Например, множества {m, n, k, r} и {n, m, r, k} совпадают.

Вторым способом можно задавать как конечные, так и бесконечные множества. Характеристическое свойство – это такое свойство, которым обладает каждый элемент, входящий в данное множество, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит. Если обозначить символом P(а) характеристическое свойство элементов множества A, то тогда используется следующая запись: A = {а  P(а)}.

Порождающая процедура описывает способ получения элементов нового множества из уже полученных элементов или из других объектов. Тогда элементами множества считаются все объекты, которые могут быть получены с помощью этой процедуры. Другими словами, порождающая процедура – это процесс, который будучи запущен, порождает все элементы данного множества. С помощью порождающей процедуры можно задавать множества, содержащие любое число элементов.

Пример 1.1. Определим различными способами множество M всех нечетных натуральных чисел, не превышающих 10:

M = {1, 3, 5, 7, 9};
M = {m | m  N, m < 10, m – нечетное число} или

M = {2n – 1 | n  N, n  5};

порождающая процедура определяется правилами:

1  M;
если m  M, то (m + 2)  M, где m  7.

1.2. Подмножества. Диаграммы Эйлера – Венна

Определение 1.4. Множество B называется подмножеством множества A, если каждый элемент множества B принадлежит множеству A.

Пример 1.2. Пусть А = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, а B = {2, 3, 5, 7}. Множество В является подмножеством множества А, поскольку каждый элемент множества В принадлежит множеству А.

Если множество B является подмножеством множества A, то говорят также, что B содержится в A или B включено в A, при этом пишут В  А или А  В. Символ  называется знаком включения (точнее, нестрого включения).

Согласно данному определению 1.4 подмножества, каждое множество является подмножеством самого себя, то есть ( A) А  А. Кроме того, считается, что пустое множество есть подмножество любого множества A: ( A)   А.

Различают два вида подмножеств множества А.

Определение 1.5. Пустое множество  и множество А называются несобственными подмножествами множества А.

Определение 1.6. Любые подмножества множества А, отличные от А и , называются собственными подмножествами множества А.

Определение 1.7. Множества A и B, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными. При этом пишут А = В, в противном случае А ≠ В.

Справедливо следующее утверждение, которое также можно рассматривать в качестве определения равных множеств.

Утверждение 1.1. А = В  А  B и В  А.

Замечание 1.3. Из утверждения 1.1 вытекает способ доказательства равенства двух множеств: если доказать, что каждый элемент из множества A является элементом множества B и каждый элемент из множества B является элементом множества A, то делают вывод, что А = В.

Говорят, что множество B строго включено в множество A или, по-другому, А строго включает B, если В  А и В  А. В этом случае пишут B  A. Символ  называется знаком строгого включения.

Пример 1.3. Имеют место следующие строгие включения числовых множеств: N  N₀  Z  Q  R  C и I  R  C.

Определение 1.8. Совокупность всех подмножеств множества A называется его булеаном (или множеством-степенью), и обозначается через P(A) (или 2^A).

Пример 1.4. Если A = {a, b, c}, то булеан множества А это множество P(A) = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {a, c}, {a, b, c}}.

Для наглядного изображения множеств и их свойств используют так называемые диаграммы Эйлера^² – Венна^³. Множество отождествляется с множеством точек на плоскости, лежащих внутри некоторых замкнутых кривых, например окружностей (так называемые круги Эйлера). В частности, универсальное множество U изображается множеством точек некоторого прямоугольника или всей плоскости (рис. 1.1).

1.3. Операции над множествами и их свойства

Определим операции над множествами, с помощью которых можно получать из любых имеющихся множеств новые множества.

1. Объединение (или сумма).

Определение 1.9. Объединением множеств А и В называется множество A  B, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств.

То есть, по определению 1.9, A  B = {х | х Î А или х Î В}.

Все операции над множествами можно иллюстрировать с помощью диаграмм Эйлера – Венна. Объединение множеств А и В заштриховано и изображено на рис. 1.2.

Заметим, что в объединение двух множеств A и B могут входить элементы из A, не принадлежащие множеству B, элементы из B, не принадлежащие множеству A, и элементы, принадлежащие множествам A и B одновременно. Следовательно, ( A, B) A  A  B и B  A  B.

2. Пересечение (или произведение).

Определение 1.10. Пересечением множеств А и В называется множество A  B, которое состоит из тех и только тех элементов, принадлежащих одновременно и множеству А и множеству B.

Таким образом, по определению 1. 10, A  B = {х | х Î А и х Î В}. Пересечение множеств А и В заштриховано и изображено на рис. 1.3.

Замечание 1.4. Если A  B  , то говорят, что множества A и B пересекаются. Если A  B = , то в этом случае множества A и B называются непересекающимися.

Из определения пересечения следует, что ( A, B) А  В  А и А  В  В.

3. Разность.

Определение 1.11. Разностью множеств А и В называется множество А \ В, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А и одновременно не принадлежат множеству В.

Таким образом, по определению 1.11, А \ В = {x  x  А и х  В}. Разность множеств А и В заштриховано и изображено на рис. 1.4.

Замечание 1.5. Если B  A, то в этом случае разность А \ В называют дополнением B до A.

Определим частные случаи разности.

Определение 1.12. Симметрической разностью (или кольцевой суммой) множеств А и В называется множество A  B (или А  В), состоящее из элементов объединения этих множеств, но не входящих в пересечение этих множеств (рис. 1.5).

Таким образом, по определению, A  B = (A  B) \ (A  B) = = (A \ B)  (B \ A) = {x  (x  А и х  В) или (x  B и х  A)}.

Определение 1.13. Дополнением множества А (до универсального множества U) называется множество (или A) равное разности U \ А.

Дополнение множества А до универсального множества U заштриховано и изображено на рис. 1.6.

Таким образом, по определению, = U \ А = {x  x  U и х  А} или = {x  х  А}.

Пример 1.5. Пусть A = {m, n, p, k, l}, B = {p, r, s, n}. Найти: A  B, A  B, A \ B, B \ A, A  B.

Решение.

A  B = {m, n, p, k, l, r, s}; A  B = {p, n}; A \ B = {m, k, l}; B \ A = {r, s};

A  B = { m, k, l, r, s}.

Пример 1.6. Пусть A = {х | х Î R, –4  х < 1}, B = {х | х Î R, 0  х  4}. Найти: A  B, A  B, A \ B, B \ A, A  B, ,.

Решение.

A  B = {х | х Î R, –4  х  4};

A  B = {х | х Î R, 0  х < 1};

A \ B = {х | х Î R, –4  х < 0};

B \ A = {х | х Î R, 1  х  4};

A  B = {х | х Î R, –4  х < 0, 1  х  4};

= {х | х Î R, х < –4, х  1};

= {х | х Î R, х < 0, х > 4}.

4. Декартовое произведение (или прямое произведение).

Определение 1.14. Упорядоченной парой (или парой) (a, b) называется два элемента a, b взятые в определенном порядке. Пары (a₁, b₁) и (a₂, b₂) равны тогда и только тогда, когда a₁ = a₂ и b₁ = b₂.

Определение 1.15. Декартовым произведение множеств А и В называется множество А  В, состоящее из всех упорядоченных пар (a, b), где a  A и b  B.