Файл: Линейная Алгебра от 2 октября 2013.doc

Замечание. Геометрически все n значений корней n-ой степени из комплексного числа r(cos + isin) изображаются точками, лежащими на окружности с центром в начале координат, радиус которой равен . Если эти точки соединить, то в результате получится правильный n-угольник.

Показательная форма комплексного числа

Из математического анализа известно, что e = , e – иррациональное число. Эйлер в 1740 г. опубликовал формулу, которая дает возможность записать комплексное число в показательной форме:

eⁱ^ = cos + isin – формула Эйлера.

Тогда z = r(cos + isin) = reⁱ^ – показательная форма записи комплексного числа, где r = |z|,  = arg z.

К комплексным числам в показательной форме применимы все правила действия над степенями. Пусть z₁ = r₁, z₂ = r₂, тогда

z₁z₂ = r₁r₂,

= ,

zⁿ = rⁿeⁱⁿ^,

= , где k = 0, 1, …, n – 1.

Пример 1.17. Представить комплексное число z = + i в показательной форме.

Решение. Имеем z = +i  a = ,b = 1  r = == 2;т. к. a > 0, то  = = =.Тогда z = + i = reⁱ^ = 2.

2. Бинарные отношения

2.1. Понятие отношения

Определение 2.1. n-арным (или n-местным) отношением P на множествах A₁, A₂, …, A_n называется любое подмножество прямого произведения A₁ × A₂ × … × A_n.

Обозначение n-местного отношения: P(x₁, x₂, …, x_n).

В случае n = 1 отношение P называется унарным (одноместным) и является подмножеством множества A₁.

При n = 2 P называется бинарным (двуместным) отношением или соответствием. Если P  A₁  A₂, то также говорят, что Р есть отношение между множествами A₁ и A₂ (между элементами множеств A₁ и A₂) или что Р задано (определено) на паре множеств A₁ и A₂. Если A₁ = A₂ = A (P  A  A), то говорят, что Р есть бинарное отношение на множестве А.

Пусть Р – бинарное отношение и (x, y)  P, тогда говорят, что элемент x находится в отношении P к элементу y, или что x и y связаны отношением P. Вместо записи (x, y)  P часто пишут xPy.

Определение 2.2. Элементы x₁, x₂, …, x_n.называются координатами, или компонентами, отношения P.

Определение 2.3. Пусть P  A  B, S  A  B. Бинарные отношения P и S называются равными (пишут Р = S), если для любых x  A и y  B:  .

Другими словами, отношения Р и S равны, если Р и S равны как множества.

Определение 2.4. Для любого множества А отношение id_A = {(x, x) | x  A} называется тождественным отношением (или диагональю), а U_A = A² = A  A = {(x, y) | x, y  A} – полным отношением (или универсальным отношением или полным квадратом).

Пусть Р – некоторое бинарное отношение, т. е. P  A₁  A₂.

Определение 2.5. Областью определения бинарного отношения Р называется множество DomР = {x |  y : (x, y)  P}.

Определение 2.6. Областью значений бинарного отношения Р называется множество ImР = {y |  x : (x, y)  P}.

Пример 2.1. Задано множество Р = {(1, y), (2, y), (3, x)} на множествах А = {1, 2, 3} и B = {x, y}. Покажем, что это действительно отношение, т. е. P  A  В. Найдем декартовое произведение множеств А и В: A  В = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y), (3, x), (3, y)}, следовательно, P  A  В.

Найдем область определения и область значений бинарного отношения Р.

DomР = {1, 2, 3} = А; ImР = {х, y} = В.

Пример 2.2. Пусть P  R  R : Р = {(х, y) | y = x²}. Найдем область определения и область значений бинарного отношения Р.

DomР = R; ImР = [0, +).

Способы задания бинарных отношений

Бинарные отношения можно задать одним из перечисленных способов.

1. Перечислением (см. пример 2.1). Такой способ задания применим только для конечных множеств.

2. Характеристическим свойством (см. пример 2.2).

3. Диаграммой. Пусть P  A  В – бинарное отношение. На диаграмме множества А и В изображаются с помощью кругов (или любых других связных фигур) на плоскости, а элементы множеств – точками внутри соответствующих кругов. Каждой упорядоченной паре (a, b) из бинарного отношения Р сопоставляется отрезок прямой (или любая другая линия без самопересечений), соединяющий точки a и b и имеющий направление, указываемое стрелкой, от первого элемента упорядоченной пары ко второму.

Пример 2.3. Пусть бинарное отношение Р задано диаграммой на рис. 2.1. Определим множества А, В и отношение Р зададим перечислением.

Решение. А = {a, b, c, d, e}, B = {1, 2, 3},

P = {(b, 1), (d, 2), (d, 3), (e, 3)}.

4. Графом. Если А = В, то диаграмма станет графом. Бинарному отношению Р ставим в соответствие следующую геометрическую фигуру на плоскости: точки, являются элементами множества DomР и ImР и ориентированные ребра (линии) – каждой паре (a, b)  Р поставим в соответствие ориентированное ребро, идущее от а к b (если а ≠ b) и петлю (если а = b) с фиксированным направлением обхода. Такую фигуру будем называть ориентированным графом отношения Р.

Каждое бинарное отношение на конечном множестве можно представить ориентированным графом. Обратно, каждый ориентированный граф представляет бинарное отношение на множестве его вершин.

Пример 2.4. Граф, изображенный на рис. 2.2, задает отношение Р = {(a, a), (a, c), (a, d), (b, e), (b, c), (d, c), (c, c)} на множестве A = {a, b, c, d, e}.

5. Графиком. Этот способ применяется, если отношение задано на числовых множествах.Графиком бинарного отношения Р называется множество точек плоскости Oxy с координатами (x, y) такие, что пара (x, y)  Р.