Файл: Линейная Алгебра от 2 октября 2013.doc

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Костромской государственный университет имени Н. А. Некрасова

Т. Н. Матыцина е. К. Коржевина линейная алгебра

Учебно-методическое пособие

Кострома

2013

ББК 22.174я73-5

М350

Печатается по решению редакционно-издательского совета

КГУ им. Н. А. Некрасова

Рецензент

А. В. Чередникова, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики КГТУ

А. К. Сухов, , кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики и информатики КГУ им. Н. А. Некрасова

ББК 22.174я73-5

 Т. Н. Матыцина, Е. К. Коржевина 2013

 КГУ им. Н. А. Некрасова, 2013

Оглавление

Введение 6

1. Множества 7

1. 1. Множества и их элементы. Способы задания множеств 7

1.2. Подмножество. Диаграммы Эйлера – Венна 10

1.3. Операции над множествами и их свойства 12

1.4. Метод математической индукции 18

1.5. Комплексные числа 19

2. Бинарные отношения 30

2.1. Понятие отношения 30

2.2. Свойства бинарных отношений 34

2.3. Отношение эквивалентности 37

2.4. Функции 40

3. Матрицы и действия над ними 41

3.1. Общие понятия 41

3.2. Основные операции над матрицами и их свойства 44

3.2.1. Сложение однотипных матриц 44

3.2.2. Умножение матрицы на действительное число 44

3.2.3. Умножение согласованных матриц 45

3.3. Транспонирование матриц 48

4. Определители квадратных матриц 48

4.1. Определители матриц второго и третьего порядка 48

4.2. Определитель матрицы n-го порядка 51

4.3. Свойства определителей 52

4.4. Практическое вычисление определителей 53

5. Ранг матрицы. Обратная матрица 55

5.1. Понятие ранга матрицы 55

5.2. Нахождение ранга матрицы методом окаймления миноров 56

5.3. Нахождение ранга матрицы с помощью элементарных преобразований 59

5.4. Понятие обратной матрицы и способы ее нахождения 60

6. Системы линейных уравнений 63

6.1. Основные понятия и определения 63

6.2. Методы решения систем линейных уравнений 65

6.2.1. Метод Крамера 65

6.2.1. Метод обратной матрицы 67

6.2.1. Метод Гаусса 68

6.3. Исследование системы линейных уравнений 73

6.4. Однородные системы линейных уравнений 74

7. Арифметическое n-мерное векторное пространство 78

7.1. Основные понятия 78

7.2. Линейная зависимость и независимость системы векторов 79

7.3. Базис и ранг системы векторов 83

8. Векторные (линейные) пространства 86

8.1. Определение векторного пространства над произвольным полем 86

8.2. Подпространства. Линейные многообразия 89

8.3. Базис и размерность векторного пространства 91

8.3.1. Конечномерные векторные пространства 91

8.3.2. Базисы и размерности подпространств 93

8.3.3. Координаты вектора относительно данного базиса 95

8.3.4. Координаты вектора в различных базисах 97

8.4. Евклидовы векторные пространства 99

9.  Линейные операторы 106

9.1. Основные понятия и способы задания линейных операторов 106

9.2. Матрица линейного оператора 110

9.3. Подобные матрицы 112

9.4. Действия над линейными операторами 113

9.5. Ядро и образ линейного оператора 115

9.6. Обратимые линейные операторы 116

9.7. Собственные векторы линейного оператора 117

9.7.1. Свойства собственных векторов 118

9.7.2. Характеристический многочлен матрицы 119

9.7.3. Нахождение собственных векторов линейного оператора 120

9.7.4. Алгоритм нахождения собственных векторов линейного оператора 121

9.7.5. Условия, при которых матрица подобна диагональной матрице 123

10.  Жорданова нормальная форма матрицы линейного оператора 126

10.1. Понятие λ-матрицы 126

10.2. Жорданова нормальная форма 129

10.3. Приведение матрицы к жордановой (нормальной) форме 130

11.  Билинейные и квадратичные формы 133

10.1. Билинейные формы 133

10.2. Квадратичные формы 135

Заключение 146

Библиографический список 147

Введение

Предлагаемое учебно-методическое пособие предназначено для студентов, обучающихся по направлению подготовки: 010400.62 – «Прикладная математика и информатика», 011200 – «Физика», 050100.62 – «Педагогическое образование» профиль подготовки: Математика, 050100.62 – «Педагогическое образование» профиль подготовки: Математика, Информатика и ИКТ, 080500.62 – «Бизнес-информатика», 080100.62 «Экономика» различных профилей.

В настоящем учебном пособии рассматриваются элементы следующих разделов алгебры: теория множеств, матрицы и определители, системы линейных алгебраических уравнений, комплексные числа, алгебраические системы, векторные пространства, линейные операторы.

Преподавание высшей математики студентам-бакалаврам имеет свои особенности в силу, прежде всего, других по количеству часов учебных планов. Существующие учебники по линейной алгебре очень объемны, и поэтому студент (бакалавр) не всегда может найти в них нужную информацию, вычленить главное. Данное учебно-методическое пособие поможет обучающемся в лучшем усвоении и закреплении теоретического и практического материала по линейной алгебре.

Для краткой записи утверждений будем использовать следующие обозначения символов:

 (квантор общности) читается «для любого», «для каждого», «для всех»;

 (квантор существования) – «найдется», «существует», «хотя бы для одного»;

 (импликация, знак логического следования) – «если …, то …», «следует»;

 (эквивалентность, знак логической равносильности) – «тогда и только тогда».

1. Множества

1.1. Множества и их элементы. Способы задания множеств

Первичным понятием теории множества является понятие самого множества. Данный термин был введен в математику создателем теории множеств Г. Кантором¹. Следуя ему, под множеством понимается совокупность объектов произвольной природы, которая рассматривается как единое целое. Объекты, входящие в состав множества, называются его элементами.

Это описание понятия множества нельзя считать логическим определением, а всего лишь пояснением. Понятие множества принимается как исходное, первичное, то есть не сводимое к другим понятиям.

Примерами множеств могут служить множество всех книг, составляющих данную библиотеку, множество всех точек данной линии, множество всех решений данного уравнения, множество всех одноклеточных организмов и т. п.

Множества принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: A, B, C, … Обозначается множество скобками {…}, внутри которых либо просто перечисляются элементы, либо описываются их свойства. Для числовых множеств будем использовать следующие обозначения:

N – множество натуральных чисел;

N₀ – множество неотрицательных целых чисел;

Z – множество целых чисел;

Q – множество рациональных чисел;

I – множество иррациональных чисел;

R – множество действительных чисел;

C – множество комплексных чисел.

Элементы множества будем обозначать строчными латинскими буквами: a, b, c, …

Предложения вида «объект a есть элемент множества A», «объект a принадлежит множеству A», имеющие один и тот же смысл, кратко записывают в виде a  A. Если элемент a не принадлежит множеству A, то пишут a  A. Символ  называется знаком принадлежности.

Множества могут содержать как конечное число элементов, так и бесконечное. Например, множество всех корней уравнения x² – 3x + 2 = 0 конечно (два элемента), а множество всех точек прямой бесконечно. Рассматривают в математике и множество, не содержащее ни одного элемента.

Определение 1.1. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом .

Число элементов конечного множества называется его мощностью. Если множество A содержит n элементов, то будем писать |A| = n. Если множество A = , то |A| = 0. Мощность бесконечного множества является более сложным понятием и изучается в дискретной математике и в числовых системах.

Замечание 1.1. Элементами множества могут быть множества. Например, можно говорить о множестве групп некоторого факультета университета. Элементы этого множества – группы, являющиеся в свою очередь множествами студентов. Но конкретный студент одной из групп уже не является элементом множества групп факультета.

Определение 1.2. Множество, элементами которого являются другие множества, называется семейством (или классом).

Определение 1.3. Если все элементы данной совокупности множеств принадлежат некоторому одному множеству, то такое множество называется универсальным множеством, и обозначается U.