Файл: Линейная Алгебра от 2 октября 2013.doc

При переходе к новому базису матрица квадратичной формы преобразуется по формуле A(f) = C^tA(e)C и ранг этой матрицы не меняется при переходе к новому базису.

Определение 11.9. Ранг матрицы квадратичной формы A(x, x) называется рангом квадратичной формы.

Определение 11.10. Квадратичная форма называется невырожденной, если ее ранг равен размерности пространства V и вырожденной, если ее ранг меньше размерности пространства V.

Определение 11.11. Квадратичная форма A(x, x) называется

Положительно определенной, если для любого ненулевого вектора x выполняется неравенство A(x, x) > 0.
Отрицательно определенной, если для любого ненулевого вектора x выполняется неравенство A(x, x) < 0.
Знакопеременной, если существуют такие x и y, что A(x, x) > 0 и A(y, y) < 0.
Квазизнакоопределенной, если для всех x, A(x, x) ≥ 0 (или A(x, x) ≤ 0) и имеется вектор x ≠ 0, для которого A(x, x) = 0.

Замечание. Если A(x, y) – билинейная форма, полярная положительно определенной квадратичной форме A(x, x), то A(x, y) удовлетворяет аксиомам скалярного произведения векторов в евклидовом пространстве:

A(x, y) = A(y, x) – в силу симметричности A(x, x).
A(x + y, z) = A(x, z) + A(y, z) – в силу определения билинейной формы.
A(λx, y) = λA(x, y) – в силу определения билинейной формы.
A(x, x) ≥ 0 и A(x, x) > 0 при х ≠ 0, т. к. A(x, x) положительно определена.

Вывод. Скалярное произведение в векторных пространствах может быть задано с помощью билинейной формы:

(x, y) = = A(x, y).

Приведение квадратичной формы к каноническому виду

Дана квадратичная форма (2) A(x, x) = , где x = (x₁, x₂, …, x_n). Рассмотрим квадратичную форму в пространстве R³, то есть x = (x₁, x₂, x₃), A(x, x) = + + + + + + + + + = + + + 2 + 2 + + 2 (использовали условие симметричности формы, а именно а₁₂ = а₂₁, а₁₃ = а₃₁, а₂₃ = а₃₂). Выпишем матрицу квадратичной формы A в базисе {e}, A(e) = . При изменении базиса матрица квадратичной формы меняется по формуле A(f) = C^tA(e)C, где C – матрица перехода от базиса {e} к базису {f}, а C^t – транспонированная матрица C.

Определение 11.12. Вид квадратичной формы с диагональной матрицей называется каноническим.

Итак, пусть A(f) = , тогда A'(x, x) = + + , где x'₁, x'₂, x'₃ – координаты вектора x в новом базисе {f}.

Определение 11.13. Пусть в n-мерном векторном пространстве V выбран такой базис f = {f₁, f₂, …, f_n}, в котором квадратичная форма имеет вид

A(x, x) = + + … + , (3)

где y₁, y₂, …, y_n – координаты вектора x в базисе {f}. Выражение (3) называется каноническим видом квадратичной формы. Коэффициенты ₁, λ₂, …, λ_n называются каноническими; базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид, называется каноническим базисом.

Замечание. Если квадратичная форма A(x, x) приведена к каноническому виду, то, вообще говоря, не все коэффициенты _i отличны от нуля. Ранг квадратичной формы равен рангу ее матрицы в любом базисе.

Пусть ранг квадратичной формы A(x, x) равен r, где r ≤ n. Матрица квадратичной формы в каноническом виде имеет диагональный вид. A(f) = , поскольку ее ранг равен r, то среди коэффициентов _i должно быть r, не равных нулю. Отсюда следует, что число отличных от нуля канонических коэффициентов равно рангу квадратичной формы.

Замечание. Линейным преобразованием координат называется переход от переменных x₁, x₂, …, x_n к переменным y₁, y₂, …, y_n, при котором старые переменные выражаются через новые переменные с некоторыми числовыми коэффициентами.

x₁ = α₁₁y₁ + α₁₂y₂ + … + α₁_ny_n,

x₂ = α₂₁y₁ + α₂₂y₂ + … + α₂_ny_n,

………………………………

x₁ = α_n₁y₁ + α_n₂y₂ + … + α_nny_n.

Так как каждому преобразованию базиса отвечает невырожденное линейное преобразование координат, то вопрос о приведении квадратичной формы к каноническому виду можно решать путем выбора соответствующего невырожденного преобразования координат.

Теорема 11.2 (основная теорема о квадратичных формах). Всякая квадратичная форма A(x, x), заданная в n-мерном векторном пространстве V, с помощью невырожденного линейного преобразования координат может быть приведена к каноническому виду.

Доказательство. (Метод Лагранжа) Идея этого метода состоит в последовательном дополнении квадратного трехчлена по каждой переменной до полного квадрата. Будем считать, что A(x, x) ≠ 0 и в базисе e = {e₁, e₂, …, e_n} имеет вид (2):

A(x, x) = .

Если A(x, x) = 0, то (a_ij) = 0, то есть форма уже каноническая. Формулу A(x, x) можно преобразовать так, чтобы коэффициент a₁₁ ≠ 0. Если a₁₁ = 0, то коэффициент при квадрате другой переменной отличен от нуля, тогда при помощи перенумерации переменных можно добиться, чтобы a₁₁ ≠ 0. Перенумерация переменных является невырожденным линейным преобразованием. Если же все коэффициенты при квадратах переменных равны нулю, то нужные преобразования получаются следующим образом. Пусть, например, a₁₂ ≠ 0 (A(x, x) ≠ 0, поэтому хотя бы один коэффициент a_ij ≠ 0). Рассмотрим преобразование

x₁ = y₁ – y₂,

x₂ = y₁ + y₂,

x_i = y_i, при i = 3, 4, …, n.

Это преобразование невырожденное, так как определитель его матрицы отличен от нуля = = 2 ≠ 0.

Тогда 2a₁₂x₁x₂ = 2 a₁₂(y₁ – y₂)(y₁ + y₂) = 2– 2, то есть в форме A(x, x) появятся квадраты сразу двух переменных.

Итак, станем считать, что в равенстве (2) a₁₁ ≠ 0. Выделим в выражении (2) группу слагаемых, которые содержат x₁. Получим:

A(x, x) = + 2+ 2+ . (4)

Преобразуем выделенную сумму к виду:

A(x, x) = a₁₁, (5)

при этом коэффициенты a_ij меняются на . Рассмотрим невырожденное преобразование

y₁ = x₁ + + … + ,

y₂ = x₂,

………

y_n = x_n.

Тогда получим

A(x, x) = . (6).

Если квадратичная форма = 0, то вопрос о приведении A(x, x) к каноническому виду решен.

Если эта форма не равна нулю, то повторяем рассуждения, рассматривая преобразования координат y₂, …, y_n и не меняя при этом координату y₁. Очевидно, что эти преобразования будут невырожденными. За конечное число шагов квадратичная форма A(x, x) будет приведена к каноническому виду (3).

Замечание 1. Нужное преобразование исходных координат x₁, x₂, …, x_n можно получить путем перемножения найденных в процессе рассуждений невырожденных преобразований: [x] = A[y], [y] = B[z], [z] = C[t], тогда [x] = AB[z] = ABC[t], то есть [x] = M[t], где M = ABC.

Замечание 2. Пусть A(x, x) = A(x, x) = ++ …+ , где _i≠ 0, i = 1, 2, …, r, причем ₁ > 0, λ₂ > 0, …, λ_q > 0, λ_q₊₁ < 0, …, λ_r < 0.

Рассмотрим невырожденное преобразование

y₁ = z₁, y₂ = z₂, …, y_q = z_q, y_q₊₁ = z_q₊₁, …, y_r = z_r, y_r₊₁ = z_r₊₁, …, y_n = z_n. В результате A(x, x) примет вид: A(x, x) = + + … + – – … – , который называется нормальным видом квадратичной формы.