Файл: Линейная Алгебра от 2 октября 2013.doc

Комплексное число z = a + bi состоит из двух частей: число а = Rez– называется действительной частью z, b = Imz – мнимой частью комплексного числа z.

Используют следующие термины: если b = 0, то a + 0i = а – действительное число (точнее отождествляют с действительным числом), в частности 0 + 0i = 0; если а = 0, то числа вида bi (b ≠ 0) называют чисто мнимым. Множество всех комплексных чисел обозначают C = {a + bi | a, b  R, i = } при этом R  C.

Определение 1.18. Комплексное число, записанное в виде z = a + bi, называется алгебраической формой записи комплексного числа.

Определение 1.18. Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части равны, т. е. a + bi = с + di  a + с и b = d.

Определение 1.19. Комплексные числа вида a + bi и a – bi называются сопряженными.

Определение 1.20. Комплексные числа вида a + bi и –a – bi называются противоположными.

Операции над комплексными числами

Сложение: (a + bi) + (с + di) = (а + с) + (b + d)i, при сложении двух комплексных чисел их действительные части и мнимые части складываются.
Вычитание: (a + bi) – (с + di) = (а – с) + (b – d)i.
Умножение: (a + bi)(с + di) = (ас – bd) + (ad + bc)i, это простое умножение двучлена a + bi на с + di с последующей заменой i² на –1.
Деление: = = = + , если с + di ≠ 0.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Известно, что отрицательные числа были введены в связи с решением линейных уравнений с одной переменной. В конкретных задачах отрицательный ответ истолковывался как значение направленной величины (положительные или отрицательные температуры, передвижение в противоположных направлениях, прибыль и долг и т. д.). Однако еще в 16 веке многие математики не признавали отрицательных чисел. Только с введением координатной прямой и координатной плоскости отчетливо проявился смысл отрицательных чисел, и они стали такими же «равноправными» и понятными, как и натуральные числа. Аналогично обстоит дело и комплексными числами. Смысл их отчетливо проявляется при введении их геометрической интерпретации.

Геометрическое представление комплексных чисел состоит в том, что каждому комплексному числу z = a + bi ставится в соответствие точка М(а, b) плоскости в прямоугольной системе координат (рис. 1.9, а), таким образом, что действительная часть комплексного числа представляет собой абсциссу, а мнимая – ординату точки. Или вместо точки можно поставить в соответствие вектор с координатами (а, b) (рис. 1.9, б). Таким образом, устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством комплексных чисел и множеством точек координатной плоскости.

Ясно, что действительное число a + 0i = а изображается точкой на оси Ох, а чисто мнимое число 0 + bi, где b ≠ 0 – точкой на оси Oy. Поэтому ось Oy называется мнимой, а ось Ох – действительной.

Сопряженные комплексные числаa + bi и a – bi изображаются точками симметричными относительно оси Ох, а противоположные комплексные числа a + bi и –a – bi – точками симметричными относительно начала координат (рис. 1.10).

Тригонометрическая форма комплексного числа

Вектор можно задать не только координатами в прямоугольной системе координат, но и длиной и углом, который он образует с некоторым фиксированным направлением (полярная система координат), т. е. задать вектор полярными координатами (рис. 1.11).

Определение 1.21. Длина вектора, соответствующего комплексному числу z (или расстояние от начала системы координат до точки, изображающей комплексное число) называется модулем комплексного числа и обозначается |z| = r.

Определение 1.22. Радианная мера угла, образованного этим вектором с положительным направлением действительной оси Ох называется аргументом комплексного числа z и обозначается Аrg z = .

Другими словами, аргумент комплексного числа – это угол между положительной полуосью Ох и лучом Oz.

Число ноль изображается нуль-вектором, для него модуль равен 0, аргумент нуля не определен. Для ненулевого комплексного числа z аргумент определяется с точностью до 2k, где k – любое целое число.

Главным значение аргумента называется такое значение , что   (–, ]. Часто главное значение аргумента обозначается аrg z. Главное значение аргумента обратного комплексного числа отличается знаком аргумента исходного, т. е. аrg = –аrg(z).

Для комплексного числа z = a + bi установим связь между числами a, b и r, , т. е. между декартовыми и полярными координатами.

Рассмотрим прямоугольный треугольник OMK (рис. 1.11), по теореме Пифагора имеем: OM² = OK² + MK²  r² = a² + b²  r = , a = rcos, b = rsin. Тогда z = a + bi = rcos + rsini = r(cos + isin).