Файл: Линейная Алгебра от 2 октября 2013.doc

Определение 9.6. Произведением линейного оператора  на элемент λ поля P называется отображение, обозначаемое λ, действующее по правилу (λ)(x) = λ(x), для  х  V.

Теорема 9.4. Произведение линейного оператора  на элемент λ поля P является линейным оператором.

Свойства умножения линейного оператора на элемент λ поля P

1 = .
(μ) = (μ) = μ().
( + μ) =  + μ.
( + ψ) = λ + ψ.

3. Умножение линейных операторов.

Определение 9.7. Произведением линейных операторов  и ψ называется отображение, обозначаемое ψ и действующее по правилу: (ψ)(x) = (ψ(x)), для  х  V.

Теорема 9.5. Произведение линейных операторов является линейным оператором.

Свойства умножения линейных операторов

1. ψ ≠ ψ.

2. (ψ)η = (ψη).

3. ( + ψ)η = η + ψη.

4. η( + ψ) = η + ηψ.

5. (λ)η = (λη).

Связь между действиями над линейными операторами и действиями над их матрицами

В векторном пространстве V над произвольным полем P выбран произвольный базис e₁, e₂, …, e_n. В пространстве V заданы линейные операторы  и ψ, для которых в данном базисе найдены матрицы: M(), M(ψ).

Теорема 9.6. а) Матрица суммы линейных операторов равна сумме их матриц, то есть M( + ψ) = M() + M(ψ).

б) Матрица произведения линейного оператора на элемент λ равна произведению его матрицы на этот элемент λ, то есть M(λ) = λM().

в) Матрица произведения линейных операторов равна произведению их матриц, то есть M(ψ) = M()M(ψ).

9.5. Ядро и образ линейного оператора

В векторном пространстве V над произвольным полем P задан линейный оператор .

Определение9.8. Ядром линейного оператора  называется множество векторов пространства V , образом которых является нулевой вектор. Принятое обозначение для этого множества: Ker, т. е.

Ker = {x | (х) = o}.

Теорема 9.7. Ядро линейного оператора является подпространством пространства V.

Определение 9.9. Размерность ядра линейного оператора называется дефектом линейного оператора. dim Ker = d.

Определение 9.10. Образом линейного оператора  называется множество образов векторов пространства V . Обозначение для этого множества Im, т. е. Im = {(х) | х  V}.

Теорема 9.8. Образ линейного оператора является подпространством пространства V.

Определение 9.11. Размерность образа линейного оператора называется рангом линейного оператора. dim Im = r.

Теорема 9.9. Пространство V является прямой суммой ядра и образа заданного в нем линейного оператора. Сумма ранга и дефекта линейного оператора равна размерности пространства V.

Пример 9.3. 1) В пространстве R[x]₍_₃₎ найти ранг и дефект оператора дифференцирования. Найдем те многочлены, производная которых равна нулю. Это многочлены нулевой степени, следовательно, Ker = {f | f = c} и d = 1. Производные многочленов, степень которых не превосходит трех, образуют множество многочленов, степень которых не превосходит двух, следовательно, Im = R[x]₍_₂₎ и r = 3.

2) Если линейный оператор задан матрицей M(), то для нахождения его ядра надо решить уравнение (х) = о, которое в матричной форме выглядит так: M()[x] = [о]. Из этого следует, что базисом ядра линейного оператора является фундаментальный набор решений однородной системы линейных уравнений с основной матрицей M(). Систему образующих образа линейного оператора составляют векторы (e₁), (e₂), …, (e_n). Базис этой системы векторов дает базис образа линейного оператора.

9.6. Обратимые линейные операторы

Определение 9.12. Линейный оператор  называется обратимым, если существует линейный оператор ψ такой что выполняется равенство ψ = ψ = , где  – тождественный оператор.

Теорема 9.10. Если линейный оператор  обратим, то оператор ψ определяется единственным образом и называется обратным для оператора .

В этом случае оператор, обратный для оператора , обозначается ^–1.

Теорема 9.11. Линейный оператор  обратим тогда и только тогда, когда обратима его матрица M(), при этом M(^–1) = (M())^–1.

Из этой теоремы следует, что ранг обратимого линейного оператора равен размерности пространства, а дефект равен нулю.

Пример 9.4 1) Определить, обратим ли линейный оператор , если (x) = (2х₁ – х₂, –4х₁ + 2х₂).

Решение. Составим матрицу этого линейного оператора: M() = . Так как = 0 то матрица M() необратима, а значит, необратим и линейный оператор .

2) Найти линейный оператор, обратный оператору , если (x) = (2х₁ + х₂, 3х₁ + 2х₂).

Решение. Матрица этого линейного оператора, равная M() = , обратима, так как |M()| ≠ 0. (M())^–1 = , поэтому ^–1 = (2х₁ – х₂, –3х₁ + 2х₂).

9.7. Собственные векторы линейного оператора

В векторном пространстве V над произвольным полем P задан линейный оператор .

Определение 9.13. Ненулевой вектор x называется собственным вектором линейного оператора  с собственным значением λ, если (х) = λx.

Говорят, что вектор x принадлежит собственному значению λ.

При этом λ называется не только собственным значением вектора x, но и собственным значением линейного оператора .

Пример 9.5. 1) Любой ненулевой вектор является собственным вектором оператора гомотетии.

2) Рассмотрим оператор дифференцирования в пространстве дифференцируемых функций. Вектор f = е³^х является собственным вектором этого оператора с собственным значением 3, так как f' = 3е³^х = 3f.

3) Для линейного оператора, заданного матрицей M() = собственным является вектор c = (1, 2, 0), так как (с) = 2с. Проверим это:

[(с)] = M()[c] = = = 2= 2[с].

9.7.1. Свойства собственных векторов

1. Каждый собственный вектор принадлежит только одному собственному значению.

Доказательство. Пусть x собственный вектор с двумя собственными значениями ₁ и ₂. Тогда (x) = ₁х и (x) = ₂x. Отсюда ₁х = ₂x  (₁ – ₂)x = 0 и так как вектор x ненулевой, то (₁ – ₂) = 0  ₁ = ₂.

2. Если вектор x – собственный вектор линейного оператора  с собственным значением λ, то вектор y = kx (k  0) тоже собственный с тем же собственным значением λ.

Доказательство. (y) = (kx) = k(x) = k(x) = (kx) = y. Следовательно, вектор y – собственный вектор оператора  с собственным значением .