Файл: Линейная Алгебра от 2 октября 2013.doc

8.2. Подпространства. Линейные многообразия

Пусть V – векторное пространство, L  V (L подмножество V).

Определение 8.2. Подмножество L векторного пространства V называется подпространством пространства V, если

1.  а, b  L : а + b  L;

2.  а  L, k  P: kа  L.

Обозначение L  V. Принято говорить, что подмножество L замкнуто относительно сложения векторов и относительно умножения их на элемент из поля P.

Пример 8.2.

1) В каждом векторном пространстве есть два подпространства, называемых несобственными: L = {0} – нулевое подпространство, L = V – подпространство, совпадающее со всем пространством .

Приведем примеры собственных подпространств.

2) Пусть V = R⁴, L = {((₁, ₂, ₃, 0), _i  R} – подпространство, так как для произвольных векторов а = (₁, ₂, ₃, 0)  L и b = (₁, ₂, ₃, 0)  L и k  P:

• а + b = (₁ + ₁, ₂ + ₂, ₃ + ₃, 0 + 0)  L;

• ka = (k₁, k₂, k₃, 0)  L.

3) В пространстве квадратных матриц подпространство образует подмножество диагональных матриц.

4) В пространстве направленных отрезков подпространством является множество отрезков, лежащих на прямой, проходящей через начало координат.

Теорема 8.1. Линейная оболочка L(а₁, а₂, …, а_m) системы векторов а₁, а₂, …, а_m образует подпространство пространства V.

В этом случае принято говорить, что L(а₁, а₂, …, а_m) подпространство, натянутое на векторы а₁, а₂, …, а_m, или что L(а₁, а₂, …, а_m) – подпространство, порожденное векторами а₁, а₂, …, а_m. Система векторов а₁, а₂, …, а_m называется системой образующих подпространства L(а₁, а₂, …, а_m).

Пересечение и сумма подпространств

Пусть V – векторное пространство над полем P, L₁ и L₂ – его подпространства.

Определение 8.3. Пересечением подпространств называется множество L₁  L₂ = {x | x  L₁ и x  L₂}.

Теорема 8.2. Пересечение подпространств является подпространством.

Определение 8.4. Суммой подпространств L₁ и L₂ называется множество L₁ + L₂ = {x = x₁ + x₂ | x₁  L₁ и x₂  L₂}.

Теорема 8.3. Сумма подпространств является подпространством.

Определение 8.5. Сумма подпространств L₁ и L₂ называется прямой, если каждый вектор из суммы L₁ + L₂ может быть единственным образом представлен в виде суммы векторов из L₁ и L₂.

Прямая сумма подпространств обозначается символом L₁  L₂.

Теорема 8.4. Сумма подпространств L₁ и L₂ является прямой тогда и только тогда, когда их пересечение состоит только из нулевого вектора, т. е. L₁  L₂ = {о}.

Линейные многообразия

Пусть V – векторное пространство, L – подпространство, a – произвольный вектор из пространства V.

Определение 8.6. Линейным многообразием пространства V с направлением L, порожденным вектором a, называется множество a + L = {a + l, l  L}. Вектор a называется вектором сдвига.

Пример 8.3. В пространстве R^22 выберем подпространство L = {, а, b  R} и вектор сдвига A = , тогда соответствующее линейное многообразие – это множество A + L = {, c, d  R}.

8.3. Базис и размерность векторного пространства

8.3.1. Конечномерные векторные пространства

Определение 8.7. Векторное пространство V называется n-мерным, если в нем существует линейно независимая система векторов, состоящая из n векторов, и при этом любая система, состоящая более чем из n векторов, линейно зависима.

В этом случае говорят, что размерность V равна n (dimV = n).

Определение 8.8. Векторное пространство, имеющее размерность, называется конечномерным.

Определение 8.9. Если в векторном пространстве V можно указать линейно независимую систему векторов с каким угодно количеством векторов, то пространство V называется бесконечномерным.

Пример 8.4. 1) Пространство R⁴ четырехмерно, так как в нем есть 4 линейно независимых вектора e₁, e₂, e₃, e₄ и любая другая система векторов, в которой более 4 векторов, линейно зависима.

2) Пространство R[x] бесконечномерно, поскольку система векторов 1, x, x², …, xⁿ линейно независима при любом n.

Базис конечномерного векторного пространства

V – конечномерное векторное пространство над полем P, S – система векторов (конечная или бесконечная).

Определение 8.10. Базисом системы S называется ее подсистема S´ такая, что

• подсистема S´ линейно независима;

• любой вектор системы S линейно выражается через векторы системы S´.

Как и для арифметических n-мерных векторных пространств верна следующая теорема:

Теорема 8.5. Любые два базиса одной и той же системы векторов состоят из одинакового количества векторов.

Теорема 8.6. В конечномерном векторном пространстве любая система, содержащая хотя бы один ненулевой вектор, имеет базис.

Определение 8.11. Базисом конечномерного векторного пространства V называется система векторов этого пространства, такая что

• эта система линейно независима;

• каждый вектор из V линейно выражается через векторы базиса.

Теорема 8.7. В n-мерном векторном пространстве есть базис. При этом базисы – это в точности все системы, состоящие из n линейно независимых векторов, то есть

- базис – это система, состоящая n из линейно независимых векторов, и

- любая система, состоящая из n линейно независимых векторов, является базисом.

Определение 8.12. Размерностью пространства называется количество векторов в любом его базисе.

Пример 8.5. Приведем примеры базисов конечномерных векторных пространств.

1) Пространство V = Rⁿ. Система единичных векторов e₁, e₂, …, e_n образует базис этого пространства, что следует из свойств этой системы векторов. Размерность Rⁿ равна n.

2) Пространство V = R³. Система векторов e₁, e₂, e₃ – базис R³. Любой другой базис этого пространства состоит из трех линейно независимых векторов, это, например, векторы а₁, а₂, а₃ : а₁ = (2, 3, –1), а₂ = (0, 4, 7), а₃ = (0, 0, –4). Эти векторы образуют лестничную систему, поэтому они линейно независимы. Размерность R³ равна 3.

3) Пространство V = R^22. В качестве базиса этого пространства можно выбрать векторы Е₁ = , Е₂ = , Е₃ = , Е₄ = . Можно показать, что они линейно независимы. Как выражаются элементы пространства через векторы базиса, видно из следующего примера: если вектор A = , то А = 2Е₁ + (–4)Е₂ + 3Е₃ + 5Е₄ . Размерность R^22 равна 4.

4) Пространство V = R[x]_(3). Векторы f₁ = 1, f₂ = x, f₃ = x², f₄ = x³ образуют базис пространства R[x]_(3). Линейная независимость этих векторов легко доказывается, произвольный вектор f = a + bx + cx² + d x³ выражается через векторы следующим способом f = af₁ + bf₂ + cf₃ + df₄. Размерность этого пространства равна 4.

5) Пространство направленных отрезков. На плоскости базис состоит из любых двух неколлинеарных векторов, в пространстве – из любых трех некомпланарных векторов.

8.3.2. Базисы и размерности подпространств

1. Пусть подпространство L = L(а₁, а₂, …, а_m) , то есть L – линейная оболочка системы а₁, а₂, …, а_m; векторы а₁, а₂, …, а_m – система образующих этого подпространства. Тогда базисом L является базис системы векторов а₁, а₂, …, а_m, то есть базис системы образующих. Размерность L равна рангу системы образующих.

2. Пусть подпространство L является суммой подпространств L₁ и L₂. Систему образующих суммы подпространств можно получить объединением систем образующих подпространств, после чего находится базис суммы. Размерность суммы находится по следующей формуле:

dim(L₁ + L₂) = dimL₁ + dimL₂ – dim(L₁  L₂).

3. Пусть сумма подпространств L₁ и L₂ прямая, то есть L = L₁  L₂. При этом L₁  L₂ = {о} и dim(L₁  L₂) = 0. Базис прямой суммы равен объединению базисов слагаемых. Размерность прямой суммы равна сумме размерностей слагаемых.

4. Приведем важный пример подпространства и линейного многообразия.

Рассмотрим однородную систему m линейных уравнений с n неизвестными. Множество решений М₀ этой системы является подмножеством множества Rⁿ и замкнуто относительно сложения векторов и умножения их на действительное число. Это означает, что это множество М₀ – подпространство пространства Rⁿ. Базисом подпространства является фундаментальный набор решений однородной системы, размерность подпространства равна количеству векторов в фундаментальном наборе решений системы.