Файл: Линейная Алгебра от 2 октября 2013.doc

Рассмотрим геометрическую интерпретацию прямого произведения двух числовых множеств A и B – множество всех точек координатной плоскости Oxy с координатами (x, y) такими, что x  A, а y  B. Тогда для двух заданных числовых множеств можно наглядно изображать их прямое произведение и, обратно, по изображению прямого произведения двух множеств определять их элементы.

Пример 1.8. Изобразить на координатной плоскости Oxy множество A  B, если:

а) A = {3, 5, 7}, B = {2, 4};

б) A = {3, 5, 7}, B = [2; 4], то есть B = {х | х Î R, 2  х  4};

в) A = [3, 7], B = [2; 4].

Решение. Множество A  B изображено на рис. 1.7.

Пример 1.9. По изображению прямого произведения A  B (рис. 1.8) найти множества A и B.

Решение.

а) A = {1, 3, 4, 5}, B = {3}; б) A = [1;5], B = (1;2]; в) A = R, B = [2;5).

Пример 1.10. Пусть A = {х | х Î N, 2 < х  6}, B = {х | х Î N, 1 < х < 4}, C = {х | х Î N, х² – 4 = 0}. Из каких элементов состоят множества (A  B)  (B  C), C  B, B  C?

Решение. Перепишем множества А, В и С, перечислив их элементы: A = {3, 4, 5, 6}, B = {2, 3}, C = {2}. Тогда A  B = {3}, B  C = {2, 3}, а значит (A  B)  (B  C) = {2, 3}; C  B = {(2, 2), (2, 3)} и B  C = {(2, 2), (3, 2)}.

Свойства операций над множествами

Свойства операций объединения, пересечения и дополнения иногда называют законами алгебры множеств. Перечислим основные свойства операций над множествами. Пусть задано универсальное множество U. Тогда ( A, B, C) A, B, C  U выполняются следующие свойства:

1. идемпотентность:A  A = A, A  A = A;

2. коммутативность: A  B = B  A, A  B = B  A;

3. ассоциативность: A  (B  C) = (A  B)  C,

A  (B  C) = (A  B)  C;

4. дистрибутивность:

A  (B  C) = (A  B)  (A  C) (дистрибутивность  относительно ),

A  (B  C) = (A  B)  (A  C) (дистрибутивность  относительно );

5. свойства нуля: A   = A, A   = ;

6. свойства единицы: A  U = U, A  U = A;

7. поглощение: (A  B)  A = A, (A  B)  A = A;

8. инволютивность (свойство двойного дополнения): = A;

9. законы де Моргана^⁴: , ;

10. закон включения: А  B   ;

11. свойства дополнения: А  = U, А  = ;

12. выражение для разности: А \ В = А  .

Другие соотношения между множествами могут быть выведены на основе вышеприведенных свойств по правилам алгебры логики.

Справедливость каждого из этих свойств можно доказать, используя утверждение 1.1 и замечание 1.3. В качестве примера приведем доказательство дистрибутивности объединения относительно пересечения: A  (B  C) = (A  B)  (A  C).

Пусть X = A  (B  C), Y = (A  B)  (A  C). Надо доказать, что множества X и Y равны, то есть X  Y и Y  X. Множество X  Y, если каждый элемент множества X принадлежит множеству Y. Пусть x  X  (x  A) или (x  B  C) тогда

если x  A, то x  A  B и x  A  C, следовательно, x  Y;
если x  B  C, то x  B и x  C  x  A  B и x  A  C, следовательно x  Y.

Из произвольности элемента x следует, что X  Y.

Предложим теперь, что y  Y; то есть y  (A  B)  (A  C), тогда y  A  B и y  A  C. Возможны два случая:

если y  A, то y  B и y  C, значит y  B  C; следовательно, y  A  (B  C)  y  X;
если y  A, то y  A  (B  C) = X.

Из произвольности элемента y вытекает, что Y  X.

Таким образом, получили равенство множеств X = Y.

1.4. Метод математической индукции

Метод математической индукции используется для доказательства утверждений, в формулировке которых участвует натуральный параметр n. Метод математической индукции – метод доказательства математических утверждений, основанный на принципе математической индукции. Сформулируем этот принцип: утверждение A(n), зависящее от натурального параметра n, считается доказанным, если доказано A(1) и для каждого натурального числа k из предположения, что верно A(k) выведено, что верно A(k + 1).

Доказательство методом математической индукции состоит из трех этапов.

База индукции: проверяем, что A(n) верно при n = 1.

Предположение индукции: предполагаем, что A(k) истинно.

Шаг индукции: доказываем, используя предположение, что истинно A(k + 1).

Замечание 1.6. Если требуется доказать утверждение А(n), где n  N₀, то база индукции начинается с n = 0.

Замечание 1.7. Доказательство методом математической индукции можно начинать не с 1, а с любого натурального m. В этом случае утверждение считается истинным при n  m.

Замечание 1.8. С помощью принципа математической индукции можно давать индукционные определения. При этом для определения понятия А(n) (n  N), во-первых, задается значение А(1); во-вторых, для любого натурального числа k задается правило получения значения А(k + 1) по числу k и значению А(k).

Пример 1.11. Доказать равенство: 1 + 2 + … + n = .

Доказательство. Пусть А(n) = 1 + 2 + … + n.

База индукции: для n = 1 имеем верное равенство 1 = .

Предположение индукции: пусть для n = k имеем верное равенство: 1 + 2 + … + k = .

Шаг индукции: докажем, что при n = k + 1 будет верно равенство: 1 + 2 + … + k + (k + 1) = . Преобразуем левую часть этого равенства 1 + 2 + … + k + (k + 1) = А(k) + (k + 1) = + (k + 1) = = = = . Получили, что из истинности равенства при n = k (k – произвольное натуральное число) следует его истинность при n = k + 1.

По принципу математической индукции утверждение A(n) верно при любом натуральном n.

1.5. Комплексные числа

Понятие числа является одним из основных завоеваний человеческой культуры. Сначала появились натуральные числа N = {1, 2, 3, …, n, …} затем целые Z = {…, –2, –1, 0, 1, 2, …}, рациональные Q = { | m  Z, n  N} (для того чтобы всякое уравнение вида ах = b, где а ≠ 0 имело решение); потом появились иррациональные числа это было связано с решением квадратных уравнений, например х² = 2, на множестве рациональных чисел это уравнение не имеет решения. Иррациональные числа – это бесконечные непериодические десятичные дроби, например , е, , , …. Рациональные числа можно представить конечными или бесконечными периодическими десятичными дробями, например = 0,2; = 0,(3). Рациональные и иррациональные числа образуют множество R действительных чисел. На этом множестве уравнение х² = 2 уже имеет два корня х₁ = и х₂ = –. Но действительных чисел оказалось недостаточно для того, чтобы, например решить квадратное уравнение вида х² + 1 = 0 (т. к. на множестве действительных чисел нет такого числа, квадрат которого отрицателен). Поэтому ввели комплексные числа C. Впервые упоминание о комплексных числах появилось в работах итальянского ученого Кардано^⁵ в 1545 г., когда он пришел к выражению , решая кубическое уравнение х³ –12х + 16 = 0. Термин «комплексное число» ввел немецкий математики Гаусс^⁶ в 1831 г. Первоначально комплексные числа называли мнимыми. И только когда датчанин Вессель^⁷(1799 г.) (независимо от него француз Арган^⁸ (1806 г.) и немец Гаусс (1832 г.)) дал геометрическое истолкование комплексного числа, они получили признание и нашли широкое применение.

Уравнение вида х² + 1 = 0 приводит к понятию мнимой единицы. Решая это уравнение, получаем х² = –1 или х = ; назвали мнимой единицей и обозначили i = или i² = –1.