Файл: Линейная Алгебра от 2 октября 2013.doc

Теорема 6.1 (Крамера^¹¹). Пусть в системе линейных уравнений число уравнений равно числу неизвестных и определитель основной матрицы не равен нулю. Тогда решение этой системы находят по формулам:

x₁ = , x₂ = , …, x_n = , (3)

где матрица A_i получена из матрицы A заменой i-ого столбца столбцом свободных членов.

Формулы (3) называются формулами Крамера.

Пример 6.1. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера. Дана система

Решение. Данной системе соответствует основная матрица А = , столбец свободных членов В = и столбец неизвестных Х = . Проверим, можно ли решать данную систему по формулам Крамера. В этой системе число уравнений равно числу неизвестных. Найдем определитель основной матрицы этой системы: |А| = = 1. Этот определитель не равен нулю, поэтому систему можно решать по формулам Крамера. Вычислим определители матриц A₁, A₂, A₃:

|A₁| = = 1, |A₂| = = 1, |A₃| = = 1.

По формулам (3) находим неизвестные:

x₁ = = = 1, x₂ = = = 1, x₃ = = = 1.

Ответ: (1; 1, 1).

6.2.2. Метод обратной матрицы

Метод обратной матрицы применим для систем линейных уравнений, в которых число уравнений равно числу неизвестных и определитель основной матрицы не равен нулю.

Матричная форма записи системы линейных уравнений представляется в виде следующего матричного равенства: АХ = В.

В силу условия матрица А – квадратная матрица порядка n с определителем не равным нулю. Это означает, что для матрицы А существует обратная матрица А^–1. Умножим обе части матричного равенства на матрицу А^–1 слева. Получим А^–1(АХ) = А^–1В. Преобразуем данной выражение:

(А^–1А)Х = А^–1В;

EХ = А^–1В;

Х = А^–1В.

Вывод: если для системы n линейных уравнений с n неизвестными определитель основной матрицы не равен нулю, то система имеет единственное решение, которое находится по формуле Х = А^–1В, где А – основная матрица данной системы, В – столбец свободных членов.

Пример 6.2. Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы.

Решение. Здесь А = , Х = , B = . Найдем матрицу А^–1 любым способом. Имеем А^–1 = . Теперь можно вычислить столбец неизвестных X.

X = =  = = . Значит x₁ = 1, x₂ = 1.

Ответ: (1; 1).

Очевидно, что применение этих методов связано с выполнением определенных условий и решить с их помощью произвольную систему невозможно.

6.2.3. Метод Гаусса

Для описания этого метода, который годится для решения произвольных систем линейных уравнений, необходимы некоторые новые понятия.

Определение 6.7. Уравнение вида 0x₁ + 0x₂ + ... + 0x_n = 0 называется нулевым.

Решением такого уравнения является любой вектор.

Определение 6.8. Уравнение вида 0x₁ + 0x₂ + ... + 0x_n = b , где b ≠ 0, называется несовместным (или противоречивым).

У несовместного уравнения решений нет.

Определение 6.9. Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются следующие ее преобразования:

умножение любого уравнения на число, не равное нулю;
прибавление к одному уравнению системы любого другого, умноженного на произвольное число;
вычеркивание нулевого уравнения.

Замечание 6.1. С помощью преобразований 1 и 2 уравнения системы можно поменять местами.

Теорема 6.2. Цепочка элементарных преобразований переводит исходную систему линейных уравнений в равносильную ей систему.

Описание метода Гаусса

Метод Гаусса – метод последовательного исключения неизвестных – заключается в том, что с помощью элементарных преобразований исходная система приводится к равносильной ей системе ступенчатого или треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру), неизвестных находятся все остальные неизвестные. Дана система (1)

(1)

Начинаем осуществлять прямой ход. Считаем, что коэффициент а₁₁ ≠ 0; если же это не так, меняем местами уравнения.

Первый шаг состоит в том, чтобы исключить неизвестное х₁ из всех уравнений, кроме первого. Для этого ко второму уравнению прибавим первое уравнение, умноженное на число , к третьему уравнению прибавим первое уравнение, умноженное на число , и так далее до последнего уравнения. После первого шага получим систему:

Полученная система равносильна исходной системе.

Вторым шагом исключают неизвестное из всех уравнений, кроме первого и второго. Для этого повторяем все действия первого шага для второго и последующих уравнений, а именно: считаем, что коэффициент ≠ 0 и так далее. Если в результате преобразований получается нулевое уравнение, то его удаляют, если же получается несовместное уравнение, то решение системы закончено – она несовместна. Процесс исключения неизвестных продолжаем до тех пор, пока это возможно. Обозначим количество уравнений, оставшихся после прямого хода, через r. Это число равно рангу основной матрицы системы и может быть меньше или равно n. Рассмотрим оба случая.

1) Если r = n, то система после прямого хода принимает вид:

где с₁₁ ≠ 0, с₂₂ ≠ 0, …, с_nn ≠ 0.

Обратным ходом, начиная с последнего уравнения, последовательно найдем значения x_n, (где x_n = ), x_n_– 1, ..., x₁. В этом случае система линейных уравнений имеет единственное решение, то есть является определенной.

2) Если r < n, то система после прямого хода принимает вид:

где с₁₁ ≠ 0, с₂₂ ≠ 0, …, с_rr ≠ 0. Неизвестные x₁, x₂, …, x_r, с которых начинаются уравнения, называются главными неизвестными, а остальные x_r₊₁, x_r₊₂, …, x_n – свободными. В этом случае обратным ходом, начиная с последнего уравнения, выражают главные неизвестные через свободные неизвестные. Получают следующие равенства:

x₁ = k_1,_r₊₁x_r₊₁ + … + k_1,_nx_n + t₁,

x₂ = k_2,_r_+ 1x_r_+ 1 + … + k_2,_nx_n + t₂,

……………………………………..

x_r = k_r_,_r_+ 1x_r_+ 1 + … + k_r_,_nx_n + t_r.

Определение 6.10. Общим решением системы называется выражение главных неизвестных через свободные.

Если свободным неизвестным придать какие-нибудь числовые значения, то из общего решения получим значения главных неизвестных. Таким образом, получают частное решение системы. Из способа его получения следует, что система имеет более одного решения, то есть является неопределенной.

Пример 6.3. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:

Решение. Преобразования с системой линейных удобнее производить не с самими уравнениями, а с матрицей их коэффициентов. Расширенная матрица этой системы имеет вид: (А|B) = .

Осуществляем прямой ход. Первым шагом исключаем неизвестное х₁ из всех уравнений, кроме первого. Так как а₁₁ = 1 ≠ 0, то переставлять уравнения местами не нужно. Прибавим ко второму уравнению системы первое уравнение, умноженное на (–1), к третьему уравнению – первое, умноженное на (–3). Получим после преобразований следующую матрицу: , в которой элемент а₂₂ = 1. Перестановка местами уравнений (первое уравнение трогать не следует) не поможет, поэтому переходим к следующему неизвестному х₃ и исключаем его из всех уравнений, кроме первого и второго. Для этого к третьему уравнению прибавим второе, умноженное на (–2) и вычеркнем получившееся нулевое уравнение. После прямого хода получаем следующую систему: . Прямой ход завершен. В этом случае n = 4, r = 2, r < n, и, следовательно, система неопределенная. Главные неизвестные – это те неизвестные, с которых начинаются уравнения, в нашем случае это х₁ и х₃. Неизвестные х₂ и х₄ – свободные.