Файл: 8 неделя науки СВАО - тезисы с содержанием.docx

Формула Лобачевского (1.2) остается в силе и в том случае, когда функция f(x) в промежутке интегрируема в несобственном смысле (при сохранении прочих условий теоремы 1Лобачевского).
Формула Лобачевского (1.4) и формула (1.5) также остаются в силе в том случае, когда функция f(x) в промежутке интегрируема в несобственном смысле (при сохранении прочих условий теоремы 2Лобачевского и теоремы 3, если функция f(x) в точке непрерывна; если же функцияf(x) в точке имеет интегрируемую особенность, то условиеотпадает, а остальные условия теоремы 2Лобачевского и теоремы 3 при этом сохраняются).

Следствие вышеперечисленных теорем:

Если , то из формулы Лобачевского (1.2) следует, что

(2.1)

2. Если , гдеm – любое целое число, то из (1.2) следует, что

Если , то из (1.2) приходим к формулам Валлиса

Если , гдеm=0, ±1,…, то из (1.4) и (1.5) следует, что

Примеры.

1°. Рассмотрим интеграл

где Г(t) – гамма-функция Эйлера. Благодаря тому, что

интеграл допускает применение теоремы 2 и теорема 3 без труда вычисляется

Отметим, что при n=2 интеграл является частным случаем интеграла Рамануждана.

Теперь вычислим этот интеграл при n=2 с помощью теоремы 1 Лобачевского. Выполнив в интеграле

интегрирование по частям, получим

Чтобы вычислить этот интеграл при n=1, следует воспользоваться результатами теорем 1 и 2 Лобачевского. Вычисления дают

Отметим, что используя этот интеграл (при n=2) можно показать, что

Действительно,

откуда следует

Теперь остается учесть, что

чтобы получить искомое равенство

Исходя из равенства

и выполнив в левой его части интегрирование по частям, находим значение еще одного интеграла

2°. С помощью теоремы Лобачевского докажем, что для любого конечного t

(2.2)

Доказательство. Сначала рассмотрим случай t>0. Имеем

Аналогично доказывается случай t<0.

Пусть теперь t=0. Докажем, что в этом случае

Действительно,

Доказательство закончено.

Список литературы:

Н.И. Лобачевский. Полное собрание сочинений. ГИТТЛ. Москва-Ленинград, 1951.

Кулиев В.Д. Сингулярные краевые задачи. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

- Метод суммирования для решения задачи теплопроводности без начального условия Гусева т.С., Остапенко е.С., Кулиев в.Д., Бутова о.Н.

§1. В.Д. Кулиевым предложен следующий метод суммирования рядов. Рассмотрим ряд

Если функция f(z) регулярна в правой полуплоскости Re z≥m, z-плоскости и такова, что ее модуль при при достаточно большихR может быть как мал, так и велик, то для суммирования рядов такого типа метод Плана не применим. Поэтому возникает необходимость в разработке метода суммирования рядов, учитывающего и это обстоятельство.

Обозначение. Под S_α понимается сектор, образованный двумя лучами в z-плоскости, исходящими из точки O₁(m,0) симметрично относительно действительной оси под углом α (0<α≤π/2).

Теорема Кулиева. Пусть:

1°. Функция f(z) регулярна внутри и на границе сектора S_α.

2°. Функция f(z) в точках z=k, где k=m, m+1, m+2,…, не имеет нулей.

3°. Угол α такой, что предельное равенство

(1.1)

выполняется равномерно по

4°. Несобственный интеграл

(1.2)

сходится.

Тогда

(1.3)

где

Этот метод в дальнейшем назовем - метод.

§2. Рассмотрим задачу без начальных условий.

Если процесс теплопроводности рассматривается в момент, достаточно далеко отстоящий от начального, то влияние начальных условий практически не сказывается на распределении температуры в момент наблюдения. В этом случае ставится задача об отыскании решения однородного уравнения теплопроводности, удовлетворяющего граничным условиям одного из трех основных типов, задаваемых для всех .