Файл: Линейная Алгебра от 2 октября 2013.doc

Обратным ходом надо выразить главные неизвестные через свободные. Для этого в столбцах, содержащих ведущие элементы строк, следует получить нули. Здесь это элемент а₁₃. Прибавим к первому уравнению, умноженному на 2, второе и выпишем получившуюся матрицу коэффициентов: , а затем и сами уравнения: Из этих уравнений получаем общее решение:

Найдем какое-нибудь частное решение; пусть х₂ = 3, х₄ = 1, тогда из общего решения получим значения х₁ = , и х₁ = –2. Таким образом, частное решение – вектор а = (, 3, –2, 1).

Ответ: общее решение {(, х₂, , х₄)}, где х₂, х₄  R;

частное решение, если х₂ = 3, х₄ = 1, то (, 3, –2, 1).

6.3. Исследование системы линейных уравнений

Исследовать систему линейных уравнений – это значит, не решая систему, ответить на вопрос: совместна система или нет, а если совместна, то, сколько у нее решений. Ответить на этот вопрос позволяет следующая теорема.

Теорема 6.3 (Кронекера^¹²–Капелли^¹³). Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы, то есть r(A) = r(А|B).

Для совместных систем линейных уравнений верны следующие утверждения.

Теорема 6.4. Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то есть r(A) = r(А|B) = n, то эта система определенная, имеет единственное решение.

Теорема 6.5. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то есть r(A) = r(А|B) < n, то система неопределенная и имеет бесконечно много решений; причем количество свободных неизвестных равно (n – r).

Пример 6.4. Исследовать систему линейных уравнений на совместность:

Решение. Так как в системе число уравнений меньше числа неизвестных, то применим только метод Гаусса. Приводим расширенную матрицу этой системы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований.

 .

Получили, что ранг основной матрицы равен двум, а расширенной матрицы – трем, следовательно, данная система линейных уравнений несовместна.

6.4. Однородные системы линейных уравнений

Определение 6.11. Система линейных уравнений называется однородной, если ее свободные члены равны нулю.

Однородная система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид:

(4)

Однородная система линейных уравнений всегда совместна, так как нулевой вектор 0 = (0, 0, …, 0) является решением этой системы. Если однородная система линейных уравнений определенная (r(A) = n), то есть имеет единственное решение, то это решение нулевое (не нулевых решений нет). Если же однородная система неопределенная (r(A) < n), то кроме нулевого решения у этой системы есть ненулевые решения.

Свойства решений однородной системы линейных уравнений

Если вектор а = (₁, ₂, …, _n) является решением однородной системы, то вектор kа = (k₁, k₂, …, k_n) также является решением этой системы, где k – любое число.
Если векторы а = (₁, ₂, …, _n) и b = (₁, ₂, …, _n) являются решениями однородной системы, то вектор a + b = (₁ + ₁, ₂ + ₂, …, _n + _n) также является решением этой системы.

Следствие. Если а₁, а₂, …, а_p – решения однородной системы (4), то k₁а₁ + k₂а₂ + … + k_pа_p – тоже решение системы (4), где k₁, k₂, …, k_p – любые числа.

Фундаментальный набор решений однородной системы линейных уравнений

Пусть М₀ – множество решений однородной системы (4) линейных уравнений.

Определение 6.12. Векторы с₁, с₂, …, с_p, являющиеся решениями однородной системы линейных уравнений называются фундаментальным набором решений (сокращенно ФНР), если

1) векторы с₁, с₂, …, с_p линейно независимы (т. е. ни один из них нельзя выразить через другие);

2) любое другое решение однородной системы линейных уравнений можно выразить через решения с₁, с₂, …, с_p.

Заметим, что если с₁, с₂, …, с_p – какой-либо ф.н.р., то выражением k₁с₁ + k₂с₂ + … + k_pс_p можно описать все множество М₀ решений системы (4), поэтому его называют общим видом решения системы (4).

Теорема 6.6. Любая неопределенная однородная система линейных уравнений обладает фундаментальным набором решений.

Способ нахождения фундаментального набора решений состоит в следующем:

• найти общее решение однородной системы линейных уравнений;

• построить (n – r) частных решений этой системы, при этом значения свободных неизвестных должны образовывать единичную матрицу;

• выписать общий вид решения, входящего в М₀.

Пример 6.5. Найти фундаментальный набор решений следующей системы:

Решение. Найдем общее решение этой системы.

  В этой системе пять неизвестных (n = 5), из них главных неизвестных два (r = 2), свободных неизвестных три (n – r), то есть в фундаментальном наборе решений содержится три вектора решения. Построим их. Имеем x₁ и x₃ – главные неизвестные, x₂, x₄, x₅ – свободные неизвестные

	x₁	x₂	x₃	x₄	x₅
с₁		1	0	0	0
с₂		0	1	1	0
с₃		0	3	0	1

Значения свободных неизвестных x₂, x₄, x₅ образуют единичную матрицу E третьего порядка. Получили, что векторы с₁, с₂, с₃ образуют ф.н.р. данной системы. Тогда множество решений данной однородной системы будет М₀ = {k₁с₁ + k₂с₂ + k₃с₃, k₁, k₂, k₃  R}.

Выясним теперь условия существования ненулевых решений однородной системы линейных уравнений, другими словами условия существования фундаментального набора решений.

Однородная система линейных уравнений имеет ненулевые решения, то есть является неопределенной, если

ранг основной матрицы системы меньше числа неизвестных;
в однородной системе линейных уравнений число уравнений меньше числа неизвестных;
если в однородной системе линейных уравнений число уравнений равно числу неизвестных, и определитель основной матрицы равен нулю (т. е. |A| = 0).

Пример 6.6. При каком значении параметра a однородная система линейных уравнений имеет ненулевые решения?