Файл: Математическое моделирование в экологии.doc

Следовательно, уравнения (2.3а) и (2.4а) оказываются тождественными. Это означает, что между соответствующими членами уравнений (2.3а) и (2.4а) существуют соотношения:

; ; …….

Обобщая полученные результаты на S подобных процессов, получаем

где 1,2, …, S – номер процесса.

Индексы, характеризующие номер процесса, можно опустить и

записать (2.9) в общем виде

где idem - означает "соответственно одинаково для всех рассматриваемых процессов". Таким образом, у подобных процессов некоторые соотношения

параметров, называемые критериями подобия, оказались численно

одинаковыми. В сложных явлениях может одновременно протекать несколько различных процессов. Подобие каждого из этих процессов в отдельности обеспечивает подобие всего явления.

Обозначая критерий подобия буквой П (пи), можно дать краткую формулировку первой теоремы: для всех подобных явлений

П = idem.

Следует заметить, что справедливо и обратное положение: если критерии подобия численно одинаковы, то явления подобны. Нужно обратить внимание на практически важное свойство критериев подобия: критерии подобия любого явления могут преобразовываться в критерии другой формы, получаемые за счет операции умножения или деления ранее найденных критериев друг на друга или на какой-либо из них, т.е. если какие-либо критерии

П_k = idem и П_k+j = idem

то очевидно

П_k П_k+j = idem; ; ; kП_kj = idem.

где k - любая постоянная величина.

Заметим, что уравнение (2.3а) могло иметь совершенно иную физическую природу, чем уравнение (2.4а) при одинаковой их математической записи.

Пример 2.1

Пусть имеются два тела массой М₁ и М₂ , движения которых подобны и описываются следующими однородными уравнениями:

Разделив первое уравнение движения на f₁, а второе - соответственно на f₂, получим

(2.8)

Поскольку явления подобны, то их параметры связаны соотношениями:

M₁=m_MM₂

f₁=m_ff₂

l₁=m_ll₂

t₁=m_tt₂

Подставив эти соотношения в уравнение (2.8), получим

Поскольку уравнение движения первого тела однородное, то

(2.9)

Подставив в (2.9) вместо масштабов отношения сходственных параметров, получим:

или .

Обобщив полученный результат на S подобных систем, получим

Соотношение одинаковое для всех подобных систем, является основным критерием механического подобия:

^¹

Пример 2.2

Пусть в цепи (рис. 2.3), обладающей сопротивлением R, и индуктивностью L1 при включении ее на постоянное напряжение U1 протекает процесс, описываемый уравнением

(2.10)

Рис 2.3. Электрическая схема

Во второй цепи с параметрами R₂, L₂ протекает подобный первому процесс, уравнение которого

(2.11)

Определим критерии подобия и покажем, что они численно одинаковы для обоих процессов.

Разделив (2.10) и (2.11) соответственно на и, получим

(2.12)

Так как процессы подобны, то

(2.13)

Подставив выражения (2.13) в уравнение (2.12), получим

Поскольку уравнение (2.12) однородное, то

Заменяя в последнем уравнении масштабы отношениями сходственных параметров, получаем

Или в критериальной записи

2.4. Применение методов подобия в математическом

моделировании

Теория размерностей и подобия применяется для анализа и упрощения математических моделей. Упрощение состоит в понижении порядка системы уравнений, образующих модель, в уменьшении числа переменных или числа параметров, определяющих процесс. Системы единиц измерений можно выбирать по-разному, причем связи между величинами, определяющими модель, не должны изменяться при изменении единиц измерения.

Инвариантность явлений и процессов к изменению единиц измерения

определяется P -теоремой [11].

Пусть имеется функциональная связь

(2.14)

между n +1 размерными величинами a, a₁, …, a_n , где величины a₁, …,a_k имеют независимую размерность, и пусть эта связь не зависит от выбора системы единиц измерения (величина a определяемая, а остальные определяющие). Тогда связь (2.14) может быть записана как соотношение

(2.15)

между n +1- k критериями подобия П, П₁,…, П_n_-_k представляющими собой безразмерные комбинации из n +1 размерных величин а, а₁, …, а_n .

При этом критерии подобия П, П₁,…, П_n_-_k связаны с переменными а, а₁, …, а_n соотношениями:

(2.16)

Здесь показатели степеней α, β, …, γ; α₁, β₁, …, γ₁; α_n_-_k , β_n_-_k, …, γ_n_-_k те

же, что и в соответствующих формулах размерностей для размерно-зависи-мых величин a, a_{K+ 1}, a_n например в формуле .

Доказательство П - теоремы основано на инвариантности связи (2.14) относительно единиц измерения.

Представим любую размерно-независимую величину a_i i = 1, …,k в виде

a_i = {a_i}[a_i],

где {a_i} - числовое значение величины a_i (безразмерный коэффициент); [a_i] - некоторая произвольно выбранная единица измерения.

Числовые значения безразмерных коэффициентов для размерно-зависимых величин a, a_k_+
1, a_n вычисляются с использованием выбранных единиц измерений a_i i = 1, …, k по правилу

Соотношения (2.14) можно трактовать также и как связь между числовыми значениями величин a, a₁, …, a_n (т.е. связь между безразмерными величинами {a}, {a₁}, …., {a_n}, не зависящую, по предположению, от единиц измерения). Таким образом, для любых единиц измерений [a_i] справедливо равенство

или

Положим теперь [a₁] = a₁, [a₂] = a₂, …, [a_k] = a_k. Другими словами, выберем единицы измерений так, чтобы в полученной системе единиц измерений величины {a₁}, {a₂}, …., {a_k} тождественно равнялись единице. Тогда из последнего соотношения немедленно вытекают формулы (2.15) и (2.16).

Заметим, что поскольку единицы измерений [a₁], [a₂], …, [a_k] выбраны равными самим величинам a₁,a₂, …,a_k, то эти единицы измерений не остаются постоянными. Каждым новым значениям величин a₁,a₂, …,a_k отвечают новые значения единиц измерений. Однако такой подход к выбору единиц измерений не противоречит законам теории размерностей и подобия.

Применение П -теоремы уменьшает число величин в описании объекта и позволяет явно выразить определяемую величину a , а также величины a_k₊₁,…,a_nчерез П, П₁, …., П_n_-_k и a₁,a₂, …,a_k.