Файл: Математическое моделирование в экологии.doc

Практическим следствием этого факта является ожидание того, что при уме-ньшении h приближенное решение будет все более точным и при стремлении h к нулю будет сходиться к точному решению с линейной скоростью по h ; т.е. мы ожидаем, что при уменьшении шага h вдвое ошибка уменьшится в 2 раза. Очень медленная сходимость при уменьшении h характерна для методов первого порядка и служит препятствием для их широкого использования.

Примеры

Определить решение дифференциальных уравнений методом Эйлера.

1) y' = xy .

Решение:

3) .

Решение:

11.3.4. Модифицированный метод Эйлера

Хотя тангенс угла наклона касательной к истинной кривой в исходной точке известен и равен 0 y¢(t ) , он изменяется в соответствии с изменением независимой переменной. Поэтому в точке t₀ + h наклон касательной уже не таков, каким он был в точке t₀. Следовательно, при сохранении начального наклона касательной на всем интервале h в результаты вычислений вносится погрешность. Точность метода Эйлера можно существенно повысить, используя,

например, среднее значение производной в начале и конце интервала.

Рис. 3.4. Геометрическая интерпретация модифицированного метода

В модифицированном методе Эйлера сначала вычисляется значение функции в следующей точке по простому методу Эйлера:

которое используется для вычисления приближенного значения производной в конце интервала f(t_n₊₁, ). Вычислив среднее между этим значением призводной и её значением в начале интервала, найдем более точное значениеy_n₊₁:

(3.11)

Графическая интерпретация модифицированного метода Эйлера представлена на рис. 3.4. Принцип, на котором основан модифицированный метод Эйлера, можно пояснить иначе. Для этого вернемся к разложению функции в ряд Тейлора.

Кажется очевидным, что, сохранив член с h² и отбросив члены более высоких порядков, можно повысить точность. Однако чтобы сохранить член с h² , надо знать вторую производную y’’(t₀) . Её можно аппроксимировать конечной разностью

Подставив это выражение в ряд Тейлора с отброшенными членами третьего порядка, найдем

что совпадает с ранее полученным выражением (3.11).

Этот метод является методом второго порядка, так как в нем используется член ряда Тейлора, содержащий h² . За повышение точности приходится расплачиваться дополнительными затратами машинного времени, необходимыми для вычисления .

Примеры:

Определить решение дифференциальных уравнений модифицированным методом Эйлера

1) y’ = xy.

Решение:

11.3.5. Метод Рунге – Кутта

Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения

y’ = f (t, y),

удовлетворяющее начальному условию

y’(t₀) = y₀.

Принцип, на котором основан метод Рунге – Кутта, можно пояснить, как и принцип, на котором основан метод Эйлера, с помощью разложения функции в ряд Тейлора

Чтобы удержать в ряде Тейлора член n-го порядка, необходимо вычислить n-ю производную зависимой переменной. При использовании модифицированного метода Эйлера для получения второй производной в конечно-разност-ной форме достаточно было знать наклон кривой на концах рассматриваемого интервала. Чтобы вычислить третью производную в конечно-разностном виде, необходимо иметь значения второй производной, по меньшей мере, в двух точках. Для этого необходимо дополнительно определить наклон кривой в некоторой промежуточной точке интервала h, т. е. между tn и n 1 t + . Очевидно, чем выше порядок вычисляяемой производной, тем больше дополнительных точек потребуется вычислить внутри интервала. Так как существует несколько способов расположения внутренних точек и выбора относительных весов для найденных производных, то метод Рунге – Кутта, в сущности, объединяет целое семейство методов решения дифференциальных уравнений.

Наиболее распространенным из них является метод четвёртого порядка точности, при котором удерживаются все члены ряда Тейлора, включая h⁴. Расчеты при использовании этого классического метода производятся по формулам:

где

Метод Эйлера и его модификация по сути дела являются методами Рунге – Кутта первого и второго порядка соответственно. Более высокая точность метода Рунге – Кутта позволяет увеличить шаг интегрирования h. Допустимая погрешность на шаге определяет его максимальную величину. В прикладных пакетах программ выбор шага часто осуществляется автоматически. Для этого проводят вычисления сначала с шагом h, а затем – с шагом h/2.

За оценку погрешности вычислений с шагом h/2 можно принять приближенную формулу

где - вычисленное значение с шагом h/2; y_n– вычисленное значение с шагом h. Пример: y’ = xy.

Решение:

При реализации методов Рунге – Кутта на ЭВМ для каждой точки проводят двойной счет. Если полученные при этом значения удовлетворяют выражению (5.4), то для точки t n+1 шаг удваивают, в противном случае уменьшают вдвое. Однако необходимо помнить, что выражение (5.4) приближенное и при неблагоприятных условиях можно получить совершенно ошибочные результаты, хотя в большинстве случаев дело обстоит благополучно.

11.3.6. Метод Рунге – Кутта для систем дифференциальных уравнений

Формулы Рунге - Кутта можно использовать для решения систем дифференциальных уравнений и, следовательно, для решения дифференциальных уравнений более высоких порядков, так как любое дифференциальное уравнение n-го порядка можно свести к n дифференциальным уравнениям первого порядка. Например, в дифференциальном уравнении второго порядка

можно принять

тогда

и получаем два уравнения первого порядка:

Задача Коши в этом случае содержит два начальных условия

y(t₀) = y₀ и z(t₀) = z₀.

Формулы Рунге – Кутта для рассматриваемого случая имеют

вид:

где

11.3.7. Общая характеристика одношаговых методов

Всем одношаговым методам присущи определенные общие черты:

1) чтобы получить информацию в новой точке, надо иметь данные лишь в одной предыдущей точке. Поэтому одношаговые методы называют «самостартующимися»;

2) в основе всех одношаговых методов лежит разложение функции в ряд Тейлора, в котором сохраняются члены, содержащие h в степени до k включительно. Целое число k называется порядком метода;

3) все одношаговые методы не требуют действительного вычисления производных, а вычисляется лишь сама функция в одной или нескольких промежуточных точках;

4) свойство «самостартования» позволяет легко менять величину шага.

3.8. Многошаговые методы

Вернемся к задаче Коши

y’ = f(t, y); y(0) = y₀. (3.13)

В предыдущих методах значение y_n_{+ 1}зависело только от информации в пре-дыдущей точке t_n. Кажется вполне вероятным, что можно добиться большей точности, если использовать информацию о нескольких предыдущих точках t_n, t_n_{- 1},…. Именно так и поступают в многошаговых методах [4].

Если проинтегрировать уравнение (3.13) на отрезке [t_n, t_n₊₁], то получим

или

где P(t) – полином, аппроксимирующий f(t, y).

Чтобы построить полином степени N, используем предыдущие решения y_n, y_n_{– 1}, …. в точках t_n,…, t_n_-1, …, t_n_-_N, ... . Мы по-прежнему считаем, что узлы t расположены равномерно с шагом h. В принципе, можно проинтегрировать этот полином явно, что ведет к следующему методу: