Файл: Математическое моделирование в экологии.doc

8.1. Анализ влияния отдельных факторов в экологической модели.

В экологии часто встречаются объекты исследования, состояние которых определяется факторами, не имеющими количественной оценки. Такими факторами могут быть неуправляемые и управляемые переменные, которые по каким-либо причинам не позволяют производить их измерение в данном эксперименте, а также те не- контролируемые переменные, уровни варьирования которых можно произвольно выбирать и фиксировать по времени.

Для изучения влияния факторов подобного рода на функцию отклика Y (целевую функцию), их общего оценивания, ранжирования и выделения среди них существенных, методы регрессионного анализа непригодны, поскольку они решают задачи определения вида математической модели при варьировании величиной факторов. Здесь целесообразно использовать методы дисперсионного анализа.

назад

Лекция 9. Методы оптимизации. Метод Лагранжа

9.1. Метод Лагранжа.

Оптимизация играет важную роль при экологических исследованиях и поиске наилучших характеристик объекта или наименьших затрат ресурсов.

Оптимизации подвергается целевая функция, которая в этом случае выражается через какие-либо параметры (факторы), при не- которых заданных ограничениях. В общем случае задача оптимизации формулируется следующим образом: найти значения параметров х₁, х₂, ..., х_n, при которых целевая функция

Y=f(х₁, х₂, ..., х_n)

принимает максимальное (минимальное) значение при функциональных ограничениях, выражаемых в виде равенств

F₁=f₁(х₁, х₂, ..., х_n)

F₂=f₂(х₁, х₂, ..., х_n) (9.1)

………………………..

F_m=f_m(х₁, х₂, ..., х_n)

и областных ограничений в виде неравенств

Ф₁=φ₁(х₁, х₂, ..., х_n) ≤ b₁ Ф₂=φ₂(х₁, х₂, ..., х_n) ≤ b₂

……………………… (9.2)

Ф_p=φ_p(х₁, х₂, ..., х_n) ≤ b_p

Для решения таких задач могут быть использованы методы: диффуренциро-ваия, множителей Лагранжа, численные методы, математическое программирование и др.

При оптимизации методом дифференцирования оптимум находится приравниванием частных производных целевой функции и затем из решений совместной системы n-уравнений находится значение всех переменных х_i.

i=

Пример. Стоимость продукта зависит от степени его очистки х, ма- териалов на очистку k₁ и затрат труда k₂ что выражается зависимостью

При этом чистота продукта (х) изменяется в пределах от 25% до 90%, а имеющиеся средства на очистку равны , где — максимальная сумма денежных средств.

Требуется найти такое значение х, при котором затраты С ми- нимальны.

Р е ш е н и е. Находим производную

Откуда

.

Это оптимальное значение получено без учета ограничений 25% < х < 90% и .Если они при этом удовлетворяются, то обычно решение находится путем использования в качестве ограничения соответствующего предельно допустимого значения, т.е. для нашего примера нижнего (25%-ного) или верхнего(90%-ного) уровня. При наличии функциональных ограничений их обычно можно использовать до начала дифференцирования для уменьшения числа параметров и, таким образом, основная задача не меняется.

Метод множителей Лагранжа используется, когда целевая функция находится при функциональных ограничениях. Задача решается следующим образом.

Оптимизировать целевую функцию

Y= f(х₁, х₂, ..., х_n) (9.3)

при ограничениях

Ф₁= φ₁(х₁, х₂, ..., х_n) = 0

Ф₂= φ₂(х₁, х₂, ..., х_n) = 0

………………………. (9.4)

Ф_m= φ_m(х₁, х₂, ..., х_n) = 0.

Дифференцируя целевую функцию, найдем ее дифференциал и приравняем его к нулю

Дифференцируем каждые т ограничений

……………………..

Умножаем каждое из т уравнений (9.4) на неизвестный параметр λ_i, i=, называемый множителем Лагранжа. Эти множители различны для разных уравнений.

Имеем

……………………

Если теперь сложить вместе все эти уравнения, прибавив уравнение dY, то получим:

или

Поскольку все параметры х_i независимы, чтобы это уравнение удовлетворялось, каждый из n заключенных в скобки членов предыдущего уравнения должен равняться нулю. Отсюда получим n уравнений вида:

i=

Имеется также m уравнений. Таким образом, имеется всего (n + m) уравнений с (n + m) неизвестными: n неизвестных х_i, и т неиз- вестных . Решение этой системы даст искомое оптимальное реш ение.

Пример. Требуется построить цилиндрический резервуар емкостью 10м³ при наименьшем расходе материала. Таким образом, целевой функцией является площадь поверхности А= 2πr²+ 2 πrl, где r — радиус цилиндра; l — высота цилиндра. Функциональное ограничение V= πr²l = 10м³.

Р е ш е н и е. Находим производные

Уравнение ограничения :

Отсюда получим три уравнения

,

определяющих три неизвестных r, l и , т.е.

4πr+2πl+λ(-2πl)=0;

-2πr+ λ(πr²)=0;

V= -πr²l =0

Решая уравнения, получим:

λ =l=2r; r=

при V= 10м³; r = 1,167м; l = 2,334м.

назад

Лекция 10. Метод линейного программирования.

Методы математического программирования составляют раздел математики, в котором изучаются методы нахождения минимума или максимума функции конечного числа переменных при условии, что переменные удовлетворяют конечному числу дополнительных условий (ограничений), имеющих вид уравнений или неравенств. Различают линейное и нелинейное математическое программирование. Рассмотрим элементы линейного программирования (ЛП).

Линейным программированием называется раздел математики, в котором изучаются методы нахождения минимума или максимума линейной функции конечного числа переменных при условии, что переменные удовлетворяют конечному числу дополнительных ограничений, имеющих вид линейных уравнений или неравенств. Таким образом, задача линейного программирования (ЗЛП) в общем случае формулируется следующим образом: найти такие значения действительных переменных х₁, х₂ ..., х_m для которых целевая функция

Q(x) = р₁х₁ + р₂ х₂ + ... + р_nх_n (10.1) (5.5)

принимает минимальное значение на множестве точек, координаты которых удовлетворяют условиям

(10.2) (5.6)

где коэффициенты а_ij, b_j, р_j, (i =1, j =1,n) — действительные числа.

Можно предполагать, что

b₁≥0, b₂≥0, ..., b_n ≥0.

В матричном виде ЗЛП формулируется

АХ= b; х ≥0; Q_min(х) ≥ р^rх,

где х =(х₁, х₂, ..., x_n)^T Rⁿ, А — матрица размера тn;