Файл: Математическое моделирование в экологии.doc

V-й этап. Выдача результатов. Результаты исследования объекта могут выдаваться в устной или письменной форме. Они должны включать в себя краткое описание объекта исследования, цели исследования, математическую модель, допущения, принятые при выборе математической модели, основные результаты вычислений, обобщения и выводы.

1.4. Элементы теории подобия, применяемые в моделировании

При разработке экологических моделей часто используется подход так называемого условного моделирования.

Условное моделирование — это замещение оригинала условной моделью, представляющей его только благодаря определенной договоренности о смысле, приписанном этой модели. Условными являются, прежде всего, знаковые модели. Знак или символ — это искусственный образ, чисто условно обозначающий вполне определенный объект и, как правило, не имеющий с этим объектом ника- кого сходства.

Отдельный знак — условная простейшая модель с ограниченными моделирующими возможностями. Он условно обозначает вещь, явление, действие, событие, свойство и т.д., однако, в случае применения нескольких знаковых моделей, т.е. системы знаков, эти возможности резко возрастают.

Условными являются также образно-знаковые модели, которые отличаются наглядностью и могут обладать определенным сходством с оригиналом, например схемы с указанием входов и выходов. К знаковым и образно-знаковым моделям относят все математические формы выражения количественных отношений между переменными и постоянными величинами (функции, уравнения, графики, таблицы, алгоритмы).

При описании материальных объектов и составлении знаковых моделей приходится иметь дело с количественными отношениями. В описании материальных объектов в общем случае физическая величина Х — это некоторое свойство материального объекта, допускающее количественное выражение, например: длина L, объем V, масса М. Вообще количественное выражение физической величины Х в конкретном материальном объекте можно записать через Х — это размер данной физической величины.

Для определения размера Х, физической величины данного объекта, требуется измерить этот размер, т.е. сравнить его с некоторой мерой{x} той же физической величины другого объекта, принятого за единицу. В результате измерения устанавливается числовое значение размера Х

= Х/{x}

и размер выражается через числовое значение х и единицу {x},

Х = {х}.

Символы Х, , {x} моделируют размер, числовое значение и единицу физической величины Х. Знак « = » означает равенство объектов-оригиналов, символические модели которых расположены справа и слева от него. Логическое соединение символов мы называем формулами.

Говорить о равенстве тех или иных объектов можно, только если они однородны. В случае однородности объектов-оригиналов говорят и об однородности их символических моделей. Размер Х не зависит от единицы (x). От единицы зависит только числовое значение этого размера.

Физические величины, определяющие те или иные параметры экологических объектов, размеры единиц которых выбираются произвольно, называются основными. Единицы измерения всех остальных физических величин выражают через основные единицы и называют производными.

Совокупность основных и производных единиц, составляют систему единиц измерения.

Производную единицу физической величины можно определить символически в двух формах.

П е р в а я выражает производную единицу через единицу физических величин определяющего уравнения и раскрывает ее физический смысл. По существу она является конкретным представлением размера Х.

В т о р а я форма выражает производную единицу через основ ные единицы, не раскрывает ее физического смысла, имеет не сколько абстрактный характер, но отличается определенной сущно стью для всех физических величин. Эту форму представления производной единицы называют размерностью и обозначают {х}. Раз мерность — это символическое выражение величины через основные единицы, показывающие соотношение между их размерами без указания этих размеров.

Величина называется безразмерной, если ее размерность равна единице.

Аналогия — это сходство различных объектов по некоторым признакам. Объекты, сходные по соответствующим признакам, называются аналогами, а признаки, по которым объекты оказываются аналоговыми, называют сходственными. Сходственные признаки могут иметь качественный и количественный характер. В зависимости от этого различают качественную, количественную и смешанную аналогии.

Основное свойство аналогии состоит в возможности переноса сведений с одного объекта на другой (аналог) на основании умозаключения по аналогии. Умозаключение по аналогии основано на предположении существования тождественного в различном и выполняется по схеме в последовательности:

1. Установлено, что объект О₁ обладает свойствами С₀, C₁, ..., С_n, В₀, В₁, ..., В_k.

2. Установлено, что объект О₂ обладает свойствами C₁,C₂, ...,C_n; G₁, G₁, ..., G_n .

3. Возможно, что объект О₂ обладает свойством С₀ как и объект О₁.

4. Однако очевидно, что если среди G₁, G₁, ..., G_n есть хотя бы одно свойство G_i не совместимое с С₀ то сходство объектов по свойствам G₁, G₁, ..., G не имеет значения.

Аналогия позволяет перейти к понятию подобия, обеспечивающему строгий пересчет данных модели в данные оригинала. Здесь имеется в виду важнейший вид количественной аналогии — аналогии математической, т.е. сходство объектов по их математическому описанию. Наиболее полная математическая аналогия имеет место, если объекты описываются сходными функциями и уравнениями.

Сходственные функции различаются только аргументами и не- нулевыми постоянными, например:

Z= x cos y; U = 2 cos Зр;

ψ = 4S cos (5t — 6);

Q = 7k соs (8е + 6).

Сходственными являются первая и вторая, третья и четвертая функции, т.е. это переменные величины, входящие под знаки сходственных функций совершенно одинаковым образом. По аналогии с этим можно говорить о сходственных постоянных, когда сходственные уравнения получаются приравниванием к нулю или друг к другу.

Аналоговое моделирование — это замещение оригинала аналогичной моделью, обладающей сходством с оригиналом, достаточным для экстраполяции ее свойств и отношений в свойства и отношения оригинала на основании умозаключения по аналогии. Такое моделирование используется обычно при слабой изученности оригинала, когда имеющиеся сведения о нем носят качественный характер.

Особое значение среди математических моделей имеют подобные, обеспечивающие перенос данных на оригинал на основании подобия.

Модели подобия — это полная математическая аналогия при наличии пропорциональности между сходственными переменными, неизменно сохраняющаяся при всех возможных значениях сходственных уравнений.

Математическое описание конкретного объекта (его расчетная модель) может иметь разнообразную форму. В самом простейшем случае это явная функция, выражающая переменную через ее аргументы х:

Y= f(x₁, x₂, ..., x_n)

или сокращенно

Y = f(х_i), i = 1, ..., n.

В более сложном случае конечное уравнение

F(y, х₁, х₂, ..., х_n) = 0

выражает зависимость Y=f(х_i) в неявной форме. Математическое описание может быть выражено в виде дифференциального уравнения.

Два объекта подобны, если: 1) они имеют сходственные математические описания

F(y₁, x_1i, t_1j, D_1j, А_1s) = 0;

F(y₂, x_2i, t_2j, D_2j, А_2s) = 0;

где

у₁ = у₁(t_1j); х₁ = х₁(t_1j); D_1j=d/dt_1j;

у₂ = у₂(t_2j); х₂ = х₂(t_2j); D_2j = d/dt_2j;

— неизвестные и заданные функции независимых переменных t_1j и t_2j;

2) сходственные переменные, содержащиеся в математических описаниях, связаны постоянными коэффициентами пропорциональности, которые называются масштабами или константами подобия:

m_y = y₁/y₂; m_xi = x_1i/x_2i; m_ti = t_1i/t_2i.

При этих условиях сходственные уравнения и функции, описывающие математические аналогии, а также содержащиеся в них сходственные переменные называются подобными. Подобные функции могут быть изображены в пространстве подобных переменных одной и той же кривой или поверхностью. В частном случае возможны геометрическое, физическое и временное подобия:

• геометрическое — это подобие геометрических образов (точек, линий, фигур, тел);

• физическое — подобие физически однородных объектов; • временное — подобие функций времени.

В случае временного подобия безразмерный масштаб времени представляет отношение сходственных временных интервалов, которым соответствует неизменное отношение значений или приращений подобных временных функций: