Файл: Математическое моделирование в экологии.doc

Зависимость числа интервалов от объема выборки

При этом желательно, чтобы в каждом интервале было не менее восьми наблюдений (в крайних интервалах число наблюдений может быть меньше восьми).

Для нашего примера принимаем k = 8. Определяем ширину интервала (h) по формуле

h === 15,8/8= 1,975

Принимаем h = 2,0, условно считаем Х_max = 16,0. Записываем статистический ряд по интервалам (табл. 3.3). Эмпирической функцией распределения F_n(х) называют функцию накопленных (кумулятивных) частостей, для нашего примера она имеет вид Рис. 3.3.

Функция F_n(х) может быть изображена графически (см. рис. 3.3) в координатах (х, F_n(х)). Функция F_n(х) служит оценкой неизвестной функции распре- деления F(x) для случайной величины х.

Таблица 3.3

Статистический ряд по интервалам

Номер интер- вала i	Интервал значений для хi.	Среднее значение х в ин- тервале, хi*.	Частота наблюде- ний в интервале, mi.	Частость, wi	Накоп- ленная частость, wn,i
1	0 ≤ х1 ≤ 2	1	6	0,09375	0,09375
2	2 ≤ х2 ≤ 4	3	8	0,12500	0,21875
3	4 ≤ x3 ≤ 6	5	10	0,15625	0,37500
4	6 ≤ х4 ≤ 8	7	12	0,18750	0,56250
5	8 ≤ x5 ≤ 10	9	10	0,15625	0,71875
6	10 ≤ х6 ≤12	11	8	0,12500	0,84375
7	12 ≤ х7 ≤ 14	13	6	0,09375	0,93750
8	14 ≤ х8 ≤ 16	15	4	0,06250	1,00000
Сумма			64	1,00000	1,00000

Можно получить выборочную функцию распределения плотности вероятностей f_n(х) в сере- дине интервалов х_i^* (см. ниже рис. 2.3)

f_n(х_i^*)= m_i /nh,

Рис. 3.3. Эмпирическая функция распределения нитратов в огурцах.

Например, для первого интервала

f_n(x_i^*) = = 0,046875

Тогда f'_n(х) для нашего примера будет иметь следующий вид:

⌠ 0,00000 при х < 0

│ 0,04687 при 0 < x₁ < 2

│ 0,06250 при 2 < х₂ < 4

│ 0,07823 при 4 < х₃ < 6 130

f_n(x) = { 0,09375 при 6 < х₄ < 8

│ 0,07812 при 8 < х₅ <10

│ 0,06250 при 10 < х₆ < 12

│ 0,04687 при 12 < х₇ <14

⌡ 0,03125 при 14 < х₈ <16

Если генеральная совокупность N обладает двумерным признаком Х и Y, где Х и Y представляют собой случайные зависимые величины, то статистический ряд может иметь вид, приведенный:

в табл. 2.4 (когда обе величины Х и Y непрерывны); табл. 2.5 (Х непрерывна, а Y дискретна); табл. 2.6 (обе Х и Y дискретны).

В табл. (2.4 - 2.6) частота наблюдений m_ij показывает, сколько встречается в опыте пар (х_i,у_j).

Таблица 3.4

Статистический ряд при непрерывных величинах Х и Y

Х Y		Границы интервала
		0,1<у1<2	0,2<у2<0,3	0,3<у3<0,4	0,4<у4<0,5
Грани- цы интер- вала	0 ≤ х1< 1,1	m11= 5	m12 = 4	m13= 3	m14= 1
	1,1≤х2< 2,2	m21= 1	m22= 7	m23= 6	m24= 4
	2,2 ≤x3<3,3	m31 = 0	m32 = 8	m33= 5	m34 = 2
	2,2 ≤x3<3,3	m41= 2	m42= 4	m43= 1	m44= 3

Таблица 3.5

Статистический ряд, когда Х непрерывна, а Y дискретна

Таблица 3.6

Статистический ряд, когда Х и Y дискретны

Если генеральная совокупность N обладает р-мерным признаком

(L = l, 2,...,1,..., р), где x₁, x₂, x₃, …, x_n, …, х_p — случайные величины, то статистический ряд будет состоять при выборке n из n векторов

(x₁₁, x₂₁, x₃₁, …, x_n1)

(x₁₂, x₂₂, x₃₂, …, x_n2)

…………………….

(x_1n, x_2n, x_3n, …, x_nm)

где х_ij — случайная величина х_j в i-ом испытании (наблюдении).

Результаты наблюдений могут быть также представлены в виде матрицы

X =

назад

Лекция 4. Статистические оценки параметров распределения случайных величин по выборкам

Основная задача выборочного метода заключается в том, что- бы на основе изучения выборочной совокупности получить та- кие выборочные характеристики, которые как можно более точно отражали бы характеристики генеральной совокупности. Пусть изучается некоторый признак Θ. По результатам выборки определяется оценка этого признака Θ_b. Как бы тщательно ни была организована выборка, будем иметь некоторую ошибку = | Θ_b — Θ|, которая будет отличаться от нуля. С этой точки зрения основная задача выборочного метода будет заключаться в том, чтобы величина была как можно меньше.

Чтобы выборочную оценку можно было считать, доброкачественной и пригодной для решения поставленных задач, она должна обладать определенными свойствами. Наилучшие оценки обладают такими свойствами, как несмещенность, состоятельность, эффективность и достаточность.

Выборочная оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание при любом объеме выборки равно значению пара- метра в генеральной совокупности, т.е.

М(Θ_b) — Θ = 0.

Если же имеется смещение, т.е.

М(Θ_b) — Θ = β,

то величина β отражает это смещение.

Пусть исследуется признак Х в генеральной совокупности, из которой сделана выборка х₁, х₂, ..., х_n. Средняя арифметическая выборочная

является оценкой генеральной средней M(x), так как

M(x)=M

Математическое ожидание выборочной средней равно средней генеральной совокупности: M(x) = (x).

Выборочная оценка Θ_b параметра Θ, полученная на основе n независимых наблюдений, называется состоятельной, если предел вероятности

P(Θ_b - Θ < ) =1.